Calcule ∫ γ x 2 d x + y 2 d y + z 2 d z onde gamma é a curva do Exercício 5.

Passo 1

A curva em questão é dada pela imagem a baixo que criamos no software Geogebra

O Sentido que devemos adotar é o anti-horário, ou seja, A → B → C → A

Passo 2

Vamos fazer por partes, no caso, 3 partes. Assim

Para γ 1 A → B

γ 1 t = t , t , t ,   0 ≤ t ≤ 1

Com

d γ 1 t = ( d t , d t , d t )

Para γ 2   B → C

γ 2 t = 1,1 , 1 - t ,   0 ≤ t ≤ 1

Com

d γ 2 t = ( 0,0 , - d t )

Para γ 3   C → A

γ 3 t = 1 - t , 1 - t , 0 ,   0 ≤ t ≤ 1

Com

d γ 3 t = ( - d t , - d t , 0 )

Passo 3

Assim teremos que

∫ 0 1 t 2 d t + t 2 d t + t 2 d t + 1 - t 2 - d t + 1 - t 2 - d t + 1 - t 2 - d t

Que nos dá

∫ 0 1 - 3 + 6 t d t = - 3 t + 3 t 2 0 1 = - 3 + 3 = 0

Onde a resposta do livro está errada, então tomer cuidado.

Resposta

0

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