Enunciado

Calcule int_gamma x^2 d x + y^2 d y + z^2 d z onde gamma é a curva do Exercício 5.

Passo 1

A curva em questão é dada pela imagem a baixo que criamos no software Geogebra

O Sentido que devemos adotar é o anti-horário, ou seja, A -> B -> C -> A

Passo 2

Vamos fazer por partes, no caso, 3 partes. Assim

Para gamma_1 A -> B

gamma_1 (t) = (t , t , t) , 0 <= t <= 1

Com

d gamma_1 (t) = ( d t , d t , d t )

Para gamma_2 B -> C

gamma_2 (t) = (1,1 , 1 - t) , 0 <= t <= 1

Com

d gamma_2 (t) = ( 0,0 , - d t )

Para gamma_3 C -> A

gamma_3 (t) = (1 - t , 1 - t , 0) , 0 <= t <= 1

Com

d gamma_3 (t) = ( - d t , - d t , 0 )

Passo 3

Assim teremos que

int_0^1 [t^2 d t + t^2 d t + t^2 d t + (1 - t)^2 (- d t) + (1 - t)^2 (- d t) + (1 - t)^2 (- d t)]

Que nos dá

int_0^1 (- 3 + 6 t) d t = [- 3 t + 3 t^2]_0^1 = - 3 + 3 = 0

Onde a resposta do livro está errada, então tomer cuidado.

Resposta

0

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