Calcule a massa do fio gamma(t) = (cos t, sen t, t) , 0 <= t <= pi , com densidade linear delta(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2

Passo 1

Nosso exercício requer que saibamos de algumas coisinhas. A primeira dela é que

M = ∫ γ d m

E que

d m = δ x , y , z   d s

E agora devemos fazer algumas transformações para conseguimos resolvemos nosso problema.

Em nosso capítulo, Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco, função f X contínua, definida na imagem de γ , pode ser reescrita como

∫ γ f X d s = ∫ a b f γ t | γ ' t |   d t

E será assim que podemos resolver

Passo 2

Como sugerimos resolver nosso problema no passo 1, vamos calcular

f γ t = δ γ t = cos ⁡ t 2 + s e n   t 2 + t 2 = 1 + t 2

E além disso temos

γ ' t = - s e n   t 2 + cos ⁡ t 2 + 1 = 2

Assim podemos escrever nossa integral como

∫ 0 π 2 1 + t 2 d t = 2 t + t 3 3 0 π = π 2 1 + π 2 3  

Valor que bate com a resposta que encontramos no livro e nos deixa bastante feliz

Resposta

π 2 1 + π 2 3

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