Calcule ∫ ∫ D e x + y x - y x - y 2 d x d y , onde

D = {(x, y) ∈ R^2 | 1 <= (x - y)^2 <= 4, y <= 0 e x + y >= 0}

Passo 1

Bom galera, a gente precisa calcular a área da região D . Vamos começar mudando as variáveis na integral dupla, que é bem assim:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v   d u d v

Onde usaremos:

u = x + y

v = x - y

Para podermos substituir dentro da equação que vai ser integrada.

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:

∂ x , y ∂ u , v = det ⁡ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Mas pra facilitar vamos usar o inverso disso:

1 ∂ x , y ∂ u , v = ∂ u , v ∂ x , y = det ⁡ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Então, colocamos os valores:

det ⁡ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y = det ⁡ 1 1 1 - 1 = - 2

Logo usaremos o inverso disso:

∂ x , y ∂ u , v = - 1 2

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:

A = ∫ ∫ Q e u v   v 2 ⋅ - 1 2 d u d v

A = - 1 2 ∫ ∫ Q e u v   v 2   d u d v

Passo 4

Então, delimitamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

1 ≤ x - y 2 ≤ 4

y ≤ 0

x + y ≥ 0

E a gente tem as equações:

u = x + y

v = x - y

Então nossa região em Q fica:

1 ≤ v 2 + u 2 ≤ 4

0 ≤ u ≤ v

Tá vendo esse v 2 + u 2 , com isso a gente percebe que parece uma boa mudar pra váriavel polar.

Passo 5

Para mudarmos para variável polar a gente usa formulinha:

∫ ∫ D f u , v d x d y

= ∫ ∫ Q g r , θ ∂ u , v ∂ r , θ   d u d v

Onde usaremos:

x = r cos ⁡ θ

v = r

Fazemos parecido com os passos anteriores, assim ficamos com:

- 1 2 ∫ ∫ R e cot ⁡ θ r 2 sin 2 ⁡ θ r d θ d r  

= - 1 2 ∫ ∫ R e cot ⁡ θ r sin 2 ⁡ θ d θ d r  

Onde a região R fica:

1 ≤ r ≤ 2

π 4 ≤ θ < π 2

Passo 6

Por fim, monstamos a integral e resolvemos:

∫ 1 2 ∫ π 4 π 2 e cot ⁡ θ r sin 2 ⁡ θ d θ d r

= ∫ 1 2 e cot ⁡ θ r π 4 π 2 d r = ∫ 1 2 1 - e r d r

Integramos denovo:

- 1 2 ln ⁡ r - e ln ⁡ r 1 2

= - 1 2 ln ⁡ 2 - e ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 + e ln ⁡ 1

= ln ⁡ 2 2 e - 1

E prontinho. 😊

Resposta

ln ⁡ 2 2 e - 1

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