1. Calcule ∫ 0 1 F x d x   onde F x =   ∫ 1 x e - t 2 d t . (Sugestão: integre por partes.)

Passo 1

Como o enunciado nos deu a dica de integrar por parte, vamos fazer isso. Quando queremos integrar por partes entre dois pontos definidos, temos que fazer o seguinte:

∫ a b u d v = u v a b - ∫ a b v d u

Passo 2

Nossa expressão é a seguinte:

∫ 0 1 F x d x

Comparando com:

∫ u d v

Temos o seguinte:

u = F x   e   d v = d x

Logo,

d u = F ' ( x ) e v = x

Passo 3

Usando integração por partes:

∫ 0 1 u d v = u v 0 1 - ∫ 0 1 v d u

Trocando pelas variáveis que encontramos no Passo 2:

∫ 0 1 F x d x = F x x 0 1 - ∫ 0 1 x F ' ( x )

Por fim,

∫ 0 1 F ( x ) d x = x ∫ 1 x e - t 2 d t 0 1 - ∫ 1 x x F ' ( x )

Resposta

  ∫ 0 1 F ( x ) d x = x ∫ 1 x e - t 2 d t 0 1 - ∫ 1 x x F ' ( x )

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