Enunciado

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar:

∫ ( x 2 y + s e n   x ) d y

Em que C é o arco de parábola y = x 2 de ( 0,0 ) até ( π , π 2 ) .

Passo 2

Nesse caso, é conveniente escolher x como parâmetro, sendo assim, as equações paramétricas para C são:

x = x ,   y = x 2 ,     0 ≤ x ≤ π

Sendo assim, se y = x 2 → d y = 2 x d x . Beleza?

Sabemos que essa integral de linha pode ser calculada através da equação 7 apresentada nessa seção do livro, sendo assim, substituindo os valores na fórmula, temos:

∫ ( x 2 y + s e n   x ) d y = ∫ 0 π x 2 x 2 + s e n   x 2 x   d x

Fazendo as multiplicações

= 2 ∫ 0 π ( x 5 + x s e n   x ) d x

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para x , em que o termo x s e n   x é resolvido integrando por partes, temos:

2 1 6 x 6 - x c o s   x + s e n   x 0 π = 2 1 6 π 6 - π - 1 + 0 - 0

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ ( x 2 y + s e n   x ) d y = 1 3 π 6 + 2 π

Resposta

∫ ( x 2 y + s e n   x ) d y = 1 3 π 6 + 2 π

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