Calcule f'(x) onde f(x) é igual a

cos x + (x^2 + 1) sen x

Passo 1

Vamos lá, temos aqui que a derivada da soma é a soma das derivadas:

f ' ( x ) = cos ⁡ x + x 2 + 1 sen ⁡ x ' = cos ⁡ x ' + ( x 2 + 1 sen ⁡ x ) '

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função trigonométrica:

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Passo 3

Agora vamos usar a da função trigonométrica para calcular a primeira derivada:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Passo 4

Agora na outra vamos usar a regra do produto:

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Temos que:

h x = x 2 + 1

e

g x = sen ⁡ x

Assim:

( x 2 + 1 sen ⁡ x ) ' = h ' x g x + g ' x h x = x 2 + 1 ' sen ⁡ x + sen ⁡ x ' x 2 + 1

Passo 5

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

h ' ( x ) = x 2 + 1 ' = 2 x 2 - 1 + 0 = 2 x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' ( x ) = sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Juntando:

x 2 + 1 sen ⁡ x ' = x 2 + 1 ' sen ⁡ x + sen ⁡ x ' x 2 + 1 = 2 x sen ⁡ x + cos ⁡ x x 2 + 1 = 2 x sen ⁡ x + cos ⁡ x x 2 + 1

Passo 6

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = cos ⁡ x ' + x 2 + 1 sen ⁡ x ' = - sen ⁡ x + 2 x sen ⁡ x + cos ⁡ x x 2 + 1

Resposta

f ' ( x ) = - sen ⁡ x + 2 x sen ⁡ x + cos ⁡ x x 2 + 1

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