Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Calcule os primeiros 40 termos da sequência definida por

a n + 1 = 1 2 a n   ,     s e   a n   é   u m   n ú m e r o   p a r 3 a n + 1   ,     s e   a n   é   u m   n ú m e r o   í m p a r

e a 1 = 11 . Faça o mesmo para a 1 = 25 . Faça uma conjectura sobre esse tipo de sequência.

Passo 1

Galera, vamos listar os primeiros 40 termos dessa sequência. Primeiro faremos pra a 1 = 11 :

a 1 = 11

a 2 = 3   .   11 + 1 = 34 ,

pois a 1 = 11 é ímpar.

a 3 = 1 2   34 = 17 ,

pois a 2 = 34 é par.

Se continuarmos fazendo isso, encontraremos:

11 ,   34 ,   17 ,   52 ,   26 ,   13 ,   40 ,   20 ,   10 ,   5 ,   16 ,   8 ,   4 ,   2 ,   1 ,   4 ,   2 ,   1 ,   4 ,   2 ,   1 ,   … ,   4 ,   2 ,   1 ,   4

Repare que não é preciso calcular todos os 40 termos, pois encontramos um padrão que se repete pra sempre: { 4 ,   2 ,   1 }

Passo 2

Agora, vamos fazer a mesma coisa, só que pra a 1 = 25 , veja só:

a 1 = 25

a 2 = 3   .   25 + 1 = 76

a 3 = 1 2   76 = 38

Continuando esse processo, obtemos:

{ 25 ,   76 ,   38 ,   19 ,   58 ,   29 ,   88 ,   44 ,   22 ,   11 ,   34 ,   17 ,   52 ,   26 ,   13 ,   40 ,   20 ,   10 ,   5 ,   16 ,   8 ,   4 ,   2 ,   1 ,   4 ,   2 ,   1 ,   … ,   4 ,   2 , 1 ,   4 }

Passo 3

Pelas duas sequências que observamos, parece que esse tipo de sequência sempre vai chegar no padrão 4 ,   2 ,   1 , não importa qual o primeiro termo da sequência.

Mas lembre-se, isso é apenas uma conjectura, não demonstramos nada, precisaríamos de uma prova mais formal pra assumirmos essa conjectura como verdade.

Resposta

A sequência parece sempre chegar ao ponto em que passa a repetir o padrão { 4 ,   2 ,   1 }

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encont
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encont
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encont
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encont
Liste os primeiros nove termos da sequência cos ⁡ n π 3 Essa sequência