Enunciado

Se a n -ésima soma parcial de uma série ∑ n = 1 ∞ a n for

s n = 3 - n 2 - n  

Encontre a n e ∑ n = 1 ∞ a n .

Passo 1

Para encontrar o termo geral a n vamos usar a fórmula da soma parcial

s n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n - 1 + a n

Podemos chamar também a 1 + a 2 + a 3 + … + a n - 1 = s n - 1

s n = s n - 1 + a n

E então conhecemos s n e consequentemente s n - 1 , basta isolar a n .

Passo 2

Isolando a n

a n = s n - s n - 1

Substituindo s n e s n - 1

a n = 3 - n 2 - n - ( 3 - n - 1 2 - n - 1 )

a n = 3 - n 2 - n - 3 + n 2 - n - 1 - 2 - n - 1

a n = - n 2 - n + n 2 - n - 1 - 2 - n - 1

Colocando 2 - n - 1 em evidencia, lembrando que 2 - n = 2 ⋅ 2 - n - 1

a n = 2 - n - 1 ( - 2 n + n - 1 )

Para ficar mais elegante, podemos colocar em formato de fração

a n = - n - 1 2 n + 1

Colocando - 1 em evidencia

a n = - n + 1 2 n + 1

Passo 3

Para achar a soma, basta aplicar o limite na fórmula da soma parcial

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ ( 3 - n 2 - n ) = lim n → ∞ ⁡ 3 - n 2 n

Aplicando a propriedade do limite

lim n → ∞ ⁡ 3 - n 2 n = lim n → ∞ ⁡ 3 - lim n → ∞ ⁡ n 2 n = 3 - lim n → ∞ ⁡ n 2 n

Focando no lim n → ∞ ⁡ n 2 n , vamos aplicar a exponencial e o logaritmo no denominador, para poder aplicar L´Hospital

lim n → ∞ ⁡ n 2 n = lim n → ∞ ⁡ n e n ln ⁡ 2

Aplicando L´Hospital

lim n → ∞ ⁡ n e n ln ⁡ 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 e n ln ⁡ 2 = 0

Voltando ao outro limite

3 - lim n → ∞ ⁡ n 2 n = 3 - 0 = 3

Portanto

∑ n = 1 ∞ a n = 3

Resposta

a n = - n + 1 2 n + 1

∑ n = 1 ∞ a n = 3

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