Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 18
Calcule
Onde é a curva . (Dica: observe que está na superfície )
Passo 1
Primeiramente, pessoal, vamos reescrever essa integral de linha!
O teorema de Stokes nos diz que
Onde é a fronteira da superfície orientada no sentido anti-horário. Seja parte da superfície . Por definição, temos que:
Sabendo que . Portanto,
Passo 2
Se a superfície é da forma e é orientada para cima, podemos usar a fórmula:
Onde e é a projeção da superfície no plano . Aqui, sabemos que faz parte do plano . Assim, temos:
Substituindo :
é a projeção da superfície . Lembremos que a projeção de no plano é . Portanto, é a região dentro da circunferência Podemos definir como . Convertendo para coordenadas polares:
É muita conta, não? Mas tá acabando!
Para encontrarmos os valores dessa integral, vamos calcular pela substituição de variáveis! Seja . Os limites de integração mudam de para
Resposta
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