Enunciado

Calcule

∫ C y + sen ⁡ x d x + z 2 + cos ⁡ y d y + x 3 d z

Onde C é a curva r t = sen ⁡ t , cos ⁡ t , sen ⁡ 2 t ,   0 ≤ t ≤ 2 π . (Dica: observe que C está na superfície z = 2 x y )

Passo 1

Primeiramente, pessoal, vamos reescrever essa integral de linha!

∫ C y + sen ⁡ x d x + z 2 + cos ⁡ y d y + x 3 d z = ∫ C y + sen ⁡ x i + ( z 2 cos ⁡ y ) j + x 3 k d x i + d y j + d z k = ∫ C F . d r

O teorema de Stokes nos diz que

∫ C F . d r = ∬ S r o t ( F ) . d S

Onde C é a fronteira da superfície orientada no sentido anti-horário. Seja S   parte da superfície z = 2 x y . Por definição, temos que:

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Sabendo que F = y + sen ⁡ x i + ( z 2 cos ⁡ y ) j + x 3 k . Portanto,

r o t F = 0 - 2 z i + 0 - 3 x 2 j + 0 - 1 k = - 2 z i - 3 x 2 j - k

Passo 2

Se a superfície S é da forma z = g ( x , y ) e é orientada para cima, podemos usar a fórmula:

∬ S F . d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

Onde G = P i + Q j + R k e D é a projeção da superfície no plano x y . Aqui, sabemos que S faz parte do plano z = 2 x y . Assim, temos:

∬ S r o t F . d S = ∬ D - - 2 z 2 y - - 3 x 2 2 x - 1   d A

∬ S r o t F . d S = - ∬ D 4 y z + 6 x 3 - 1   d A

Substituindo z = 2 x y :

∬ S r o t F . d S = - ∬ D 4 y 2 x y + 6 x 3 - 1   d A

∬ S r o t F . d S = - ∬ D 8 x y 2 + 6 x 3 - 1   d A

D é a projeção da superfície S . Lembremos que a projeção de r t = p t , q t , s t no plano x y é r t = p t , q t . Portanto, D é a região dentro da circunferência r t = sin ⁡ t , cos ⁡ t .   Podemos definir D como { x , y ∈ D | x 2 + y 2 < 1 } . Convertendo para coordenadas polares:

∬ S r o t F . d S = - ∫ 0 2 π ∫ 0 1 8 r 3 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + 6 r 3 cos 3 ⁡ θ - 1 r d r d θ

∬ S r o t F . d S = - ∫ 0 2 π ∫ 0 1 8 r 4 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + 6 r 4 cos 3 ⁡ θ - r d r d θ

∬ S r o t F . d S = - ∫ 0 2 π 8 r 5 5 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + 6 r 5 5 cos 3 ⁡ θ - r 2 2 0 1 d θ

∬ S r o t F . d S = - 1 5 ∫ 0 2 π 8 sen 2 ⁡ θ + 6 cos 2 ⁡ θ c o s θ d θ + ∫ 0 2 π 1 2 d θ

É muita conta, não? Mas tá acabando!

∬ S r o t F . d S = - 1 5 ∫ 0 2 π 8 sen 2 ⁡ θ + 6 - 6 s en 2 ⁡ θ c o s θ d θ + π

∬ S r o t F . d S = - 1 5 ∫ 0 2 π 8 sen 2 ⁡ θ + 6 - 6 sen 2 ⁡ θ c o s θ d θ + π

∬ S r o t F . d S = - 1 5 ∫ 0 2 π ( 2 sin 2 ⁡ θ + 6 ) ( cos ⁡ θ d θ ) + π

Para encontrarmos os valores dessa integral, vamos calcular pela substituição de variáveis! Seja u = sen ⁡ θ → d u = cos ⁡ θ d θ . Os limites de integração mudam de ∫ 0 2 π para ∫ sen ⁡ 0 sen ⁡ 2 π

∬ S r o t F . d S = - 1 5 ∫ 0 0 2 u 2 + 6 d u + π = π

Resposta

Logo, ∫ C y + sen ⁡ x d x + z 2 + cos ⁡ y d y + x 3 d z = π

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