Enunciado

Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F e superfície S .

F x , y , z = - 2 y z i + y j + 3 x k

S é parte do paraboloide z = 5 - x 2 - y 2   que está acima do plano z = 1 , orientado para cima.

Passo 1

Inicialmente, vamos calcular ∫ C F . d r . A fronteira de S é o círculo z = 1 ,   x 2 + y 2 = 2 2 com a seguinte representação paramétrica:

r = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t , 1 ,   0 ≤ t ≤ 2 π

d r = - 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t , 0 ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Dado que o campo vetorial é

F = - 2 y z i + y j + 3 x k

Substituindo os valores de r no campo vetorial, temos:

F r t = ( - 4 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t , 6 cos ⁡ t )

Passo 2

Vamos calcular essa integral!

∫ C F . d r = ∫ 0 2 π - 4 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t , 6 cos ⁡ t ⋅ - 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t , 0 d t

∫ C F . d r = ∫ 0 2 π 8 1 - cos ⁡ 2 t 2 + 2 ⋅ 2 cos ⁡ t sen ⁡ t d t

∫ C F . d r = ∫ 0 2 π 4 1 - cos ⁡ 2 t + 2 sen ⁡ 2 t d t

∫ C F . d r = ∫ 0 2 π 4 + 4 sen ⁡ 2 t - 4 cos ⁡ 2 t d t

∫ C F . d r = ∫ 0 2 π 2 sin ⁡ 2 t - 8 cos ⁡ 2 t + ∫ 0 2 π 4 d t

∫ C F . d r = 8 π

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de ∬ S r o t ( F ) . d S . Se F = P i + Q j + R k , temos que

r o t F = R y - Q x i + P z - R x j + Q x - P y k

Dado que F = - 2 y z i + y j + 3 x k , portanto:

r o t F = 0 - 0 i + - 2 y - 3 j + 0 - - 2 z k = - 2 y - 3 j + 2 k

Vamos fazer uso da seguinte igualdade:

∬ S G . d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

onde G = P i + Q j + R k . No entanto, a fórmula é usada quando a superfície é orientada para cima, ao invés de orientada para baixo. Logo, a nossa resposta precisa de um sinal negativo! Vamos calcular as derivadas parciais de z = 5 - x 2 - y 2 :

∂ g ∂ x = - 2 x

∂ g ∂ y = - 2 y

Assim,

∬ S r o t ( F ) . d S = ∬ D - ( 0 ) - 2 x - ( - 2 y - 3 ) - 2 y + ( 2 z )   d A

∬ S r o t F . d S = ∬ D ( - 4 y 2 - 6 y + 2 z ) d A

Substituindo z = 5 - x 2 - y 2 :

∬ S r o t F . d S = ∬ D - 6 y 2 - 6 y + 2 x 2 + 10 d A

A região D é a projeção a superfície no plano x y . No nosso caso, é a região dentro da circunferência x 2 + y 2 = 4 2 . Em coordenadas polares, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( - 6 r sen ⁡ θ 2 - 6 r sen ⁡ θ - 2 r cos ⁡ θ 2 + 10 ) r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 - 4 r 3 sen 2 ⁡ θ - 6 r 2 sen ⁡ θ - 2 r 3 + 10 r   d r d θ

∫ 0 2 π - r 4 sen 2 ⁡ θ - 2 r 3 sen ⁡ θ - r 4 2 + 5 r 2 0 2 d θ

∫ 0 2 π - 16 sen 2 ⁡ θ - 16 sen ⁡ θ + 12   d θ

Substituindo sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 ,

∫ 0 2 π - 8 1 - cos ⁡ 2 θ - 16 sen ⁡ θ + 12 d θ

∫ 0 2 π - 8 + 8 cos ⁡ 2 θ - 16 sin ⁡ θ + 12   d θ = 4 sen ⁡ 2 θ + 16 cos ⁡ θ + 4 θ 0 2 π = 8 π

Assim, o teorema de Stokes é verificado (finamente, né?)!

Resposta

É verdadeiro!

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