Enunciado

14. Seja r > 0 um real dado e considere a superfície

σ   ( φ ,   θ )   =   ( r   s e n   φ   c o s   θ ,   r   s e n   φ   s e n   θ ,   r   c o s   φ )

com (φ, θ) ∈ K, onde K é o retângulo   0   ≤   φ   ≤ π 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π, no planoφθ. (Observe que a imagem de σ é a semissuperfície esférica

x 2   +   y 2   +   z 2   =   r 2 ,   z   ≥   0

Seja γ a fronteira de K orientada no sentido anti-horário. Seja Γ1 dada por Γ 1   ( t )   =   σ ( γ ( t ) ) b) mostre que

∫ γ 1 F ⋅ d r   =   ∫ γ F ⋅ d r  

Onde F é de classe C1 num aberto contendo a imagem de σ e Γ a curva dadapor Γ (t) = (cos t, sen t, 0), 0 ≤ t ≤ 2π

Passo 1

Essa questão nos diz que o espaço de Γ   ( t ) engloba Γ 1   ( t )   =   σ ( γ ( t ) ) então quando o enunciado diz que

Γ   ( t )   =   ( c o s   t ,   s e n   t ,   0 ) ,   0   ≤   t   ≤   2 π

Basicamente está dizendo que nosso raio r = 1 . E que nossa cúpula tem raio de 1 tambem. Logo

∫ γ 1 F ⋅ d r   =   ∫ γ F ⋅ d r  

Afinal estamos tratando da mesma curva.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → x , y , z =- y i ^ + x j ^ - 2 k ^ S é o cone z 2 = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 4 , com orientação descende
Calcule ∫ C y + s e n x d x + z 2 + c o s y d y + x 3 d z Onde C é a curva r → t = s e n t ,c o s t ,2 t , 0 ≤ t ≤ 2 π . (Sugestão: observe que C está na superfície z = 2 x y )
Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada. ∬ S x 2 d y d z + y 2 d z d x + z 2 d x d y Sendo S a superfície exterior do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e
Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada ∮ C x 2 + 2 y 3 d x + x y 2 d y + z 2 + 1 3 d z sendo C a circunferência x = a cos ⁡ t ,y = a s e nt ,z = 2 ,0 ≤ t ≤ 2 π .
Seja S a parte do gráfico z = 16 - x 2 - y 2 ,z ≥ 0 com normal exterior. Determinar ∬ S r o tg → ⋅ n → d S , sendo g → = 2 y , y + z , z .