Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B x d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y x d x d y = ∫ c d ∫ a x b x x d y d x

Fazendo o esboço do conjunto B :

Podemos ver a curva que fica acima da outra muda a partir do ponto onde elas se cruzam. Para determinar esse ponto as equações delas devem ser igualadas, tal que:

c o s x = 1 - c o s x → c o s x = 1 2

x = π 3

Dessa forma, para a primeira região:

0 ≤ x ≤ π 3

E

1 - c o s x ≤ y ≤ c o s x

Já para a segunda região:

π 3 ≤ x ≤ π 2

E

c o s x ≤ y ≤ 1 - c o s x

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 0 π / 3 ∫ y = 1 - c o s x y = c o s x x d y d x + ∫ π / 3 π / 2 ∫ y = c o s x y = 1 - c o s x x d y d x

F = ∫ 0 π / 3 x y | y = c o s x y = 1 - c o s x d x + ∫ π / 3 π / 2 x y | y = 1 - c o s x y = c o s x d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = ∫ 0 π / 3 x c o s x - 1 + c o s x d x + ∫ π / 3 π / 2 x 1 - c o s x - c o s x d x

F = ∫ 0 π / 3 2 x c o s x - x d x + ∫ π / 3 π / 2 x - 2 x c o s x d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x , o termo 2 x c o s x deve ser resolvido pelo método da integração por partes com u = x e d v = c o s x d x , tal que d u = d x e v = s e n x . Lembrando que o método é dado por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então:

F = 2 x s e n x - 2 ∫ s e n x d x - x 2 2 | x = π 3 x = 0 + x 2 2 - 2 x s e n x + 2 ∫ s e n x d x | x = π 2 x = π 3

F = 2 x s e n x + 2 c o s x - x 2 2 | x = π 3 x = 0 + x 2 2 - 2 x s e n x - 2 c o s x | x = π 2 x = π 3

E, substituindo o intervalo de integração:

F = 2 π 3 s e n π 3 + 2 cos ⁡ π 3 - π 2 18 - 2 + π 2 8 - π s e n π 2 - π 2 18 + 2 π 3 s e n π 3 + 2 cos ⁡ π 3

F = 4 π 3 s e n π 3 + 4 cos ⁡ π 3 - π - π 2 9 + π 2 8 - 2

F = 4 π 3 3 2 + 4 1 2 - π + π 2 72 - 2

F = π 2 72 + π 3 2 3 - 3

Resposta

π 2 72 + π 3 2 3 - 3

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