Enunciado

Uma carga elétrica é distribuída sobre o retângulo 1 ≤ x ≤ 3   ,     0 ≤ y ≤ 2   , de modo que a densidade de carga em x ,   y é σ x ,   y = 2 x y + y 2 (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no retângulo.

Passo 1

Galera, vamos lembrar que a integral que representa a carga elétrica total é:

Q = ∬ D   σ ( x ,   y )   d A

onde D é a região de integração. Nesse caso, D é o retângulo 1 ≤ x ≤ 3   ,     0 ≤ y ≤ 2 , e a integral vai ficar assim:

Q = ∫ 1 3 ∫ 0 2 2 x y + y 2   d y   d x

Passo 2

Agora mãos à massa pra resolver a integral dupla!

∫ 1 3 ∫ 0 2 2 x y + y 2   d y   d x = ∫ 1 3 x y 2 + y 3 3 0 2 d x = ∫ 1 3 4 x + 8 3 d x = 2 x 2 + 8 x 3 1 3 = 18 + 8 - 2 - 8 3 = 64 3

Resposta

Q = 64 3 C

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