Enunciado

Calcule o centro de massa

Passo 1

Através da integral dupla, as coordenadas do centro de massa de um conjunto B são dadas por:

x_c = (int int_B x d m)/(int int_B d m)

y_c = (int int_B y d m)/(int int_B d m)

Onde o elemento de massa é dado por:

d m = delta (x , y) d x d y

Neste caso, B é dado no enunciado como um triângulo, tal que:

0 <= x <= 1

E

0 <= y <= x

Além de que, a distância do ponto à origem é dada por:

delta (x , y) = k sqrt(x^2 + y^2)

Passo 2

A massa de B é dada por:

int int_B d m = int_0^1 [int_0^x (k sqrt(x^2 + y^2)) d y] d x = k int_0^1 [int_0^x sqrt(x^2 + y^2) d y] d x

Substituindo para coordenadas polares usando:

x = rho c o s theta e y = rho s e n theta

Tal que

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta = rho d rho d theta

Quando x = 1 -> rho = s e c theta

Quando x = 0 -> rho = 0

Quando y = x -> theta = (pi)/(4)

Quando y = 0 -> theta = 0

Obtém-se:

= k int_0^(pi // 4) [int_0^(s e c theta) sqrt(rho^2 (c o s^2 theta + s e n^2 theta)) rho d rho] d theta

= k int_0^(pi // 4) [int_0^(s e c theta) rho^2 d rho] d theta

= k int_0^(pi // 4) [(rho^3)/(3)] | [[s,e,c,theta],[0]] d theta = (k)/(3) int_0^(pi // 4) [s e c^3 theta] d theta

Para este caso, utiliza-se o método da integral por partes, tal que:

u = s e c theta e d v = s e c^2 theta d theta -> d u = s e c theta t g theta d theta e v = t g theta

Lembrando que o método é dado por:

int u d v = u v - int v d u

Então:

int s e c^3 theta d theta = s e c theta t g theta - int t g theta (s e c theta t g theta) d theta = s e c theta t g theta - int s e c theta (s e c^2 theta - 1) d theta

int s e c^3 theta d theta = s e c theta t g theta - int (s e c^3 theta - s e c theta) d theta

Assim:

2 int s e c^3 theta d theta = s e c theta t g theta + int s e c theta d theta

int s e c^3 theta d theta = (1)/(2) [s e c theta t g theta + ln |s e c theta + t g theta|]

Dessa forma:

= (k)/(3) [(1)/(2) [s e c theta t g theta + ln |s e c theta + t g theta|]] | [[pi,//,4],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (k)/(6) [sqrt(2) + ln |sqrt(2) + 1|] = (k)/(6) [sqrt(2) + ln (sqrt(2) + 1)]

Passo 3

Assim, para a coordenada x do centro de massa teremos:

int int_B x d m = int_0^1 [int_0^x x (k sqrt(x^2 + y^2)) d y] d x = k int_0^1 [int_0^x x sqrt(x^2 + y^2) d y] d x

Substituindo para coordenadas polares usando:

x = rho c o s theta e y = rho s e n theta

Tal que

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta = rho d rho d theta

Quando x = 1 -> rho = s e c theta

Quando x = 0 -> rho = 0

Quando y = x -> theta = (pi)/(4)

Quando y = 0 -> theta = 0

Obtém-se:

= k int_0^(pi // 4) [int_0^(s e c theta) rho c o s theta sqrt(rho^2 (c o s^2 theta + s e n^2 theta)) rho d rho] d theta

= k int_0^(pi // 4) c o s theta [int_0^(s e c theta) rho^3 d rho] d theta

= k int_0^(pi // 4) c o s theta [(rho^4)/(4)] | [[s,e,c,theta],[0]] d theta = (k)/(4) int_0^(pi // 4) c o s theta [s e c^4 theta] d theta

= (k)/(4) int_0^(pi // 4) [s e c^3 theta] d theta = (k)/(4) [(1)/(2) [s e c theta t g theta + ln |s e c theta + t g theta|]] | [[pi,//,4],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (k)/(8) [sqrt(2) + ln |sqrt(2) + 1|] = (k)/(8) [sqrt(2) + ln (sqrt(2) + 1)]

Passo 4

Já para a coordenada y do centro de massa teremos:

int int_B y d m = int_0^1 [int_0^x y (k sqrt(x^2 + y^2)) d y] d x = k int_0^1 [int_0^x y sqrt(x^2 + y^2) d y] d x

Substituindo para coordenadas polares usando:

x = rho c o s theta e y = rho s e n theta

Tal que

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta = rho d rho d theta

Quando x = 1 -> rho = s e c theta

Quando x = 0 -> rho = 0

Quando y = x -> theta = (pi)/(4)

Quando y = 0 -> theta = 0

Obtém-se:

= k int_0^(pi // 4) [int_0^(s e c theta) rho s e n theta sqrt(rho^2 (c o s^2 theta + s e n^2 theta)) rho d rho] d theta

= k int_0^(pi // 4) s e n theta [int_0^(s e c theta) rho^3 d rho] d theta

= k int_0^(pi // 4) s e n theta [(rho^4)/(4)] | [[s,e,c,theta],[0]] d theta = (k)/(4) int_0^(pi // 4) s e n theta [s e c^4 theta] d theta

= (k)/(4) int_0^(pi // 4) [t g theta s e c^3 theta] d theta

Utilizando o método da substituição simples com u = s e c theta e d u = s e c theta t g theta d theta :

Quando theta = (pi)/(4) -> u = sqrt(2)

Quando theta = 0 -> u = 1

= (k)/(4) int_1^(sqrt(2)) [u^2] d u = (k)/(4) [(u^3)/(3)] | [[sqrt(2)],[1]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (k)/(12) [2 sqrt(2) - 1]

Passo 5

Logo, substituindo esses resultados nas equações, o centro de massa estará localizado em:

x_c = ((k)/(8) [sqrt(2) + ln (sqrt(2) + 1)])/((k)/(6) [sqrt(2) + ln (sqrt(2) + 1)]) = (3)/(4)

E

y_c = ((k)/(12) [2 sqrt(2) - 1])/((k)/(6) [sqrt(2) + ln (sqrt(2) + 1)]) = (1)/(2) [(2 sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) + ln (sqrt(2) + 1))]

Logo:

((3)/(4) , (1)/(2) [(2 sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) + ln (sqrt(2) + 1))])

Resposta

((3)/(4) , (1)/(2) [(2 sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) + ln (sqrt(2) + 1))])

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