Calcule o centro de massa

Passo 1

Através da integral dupla, as coordenadas do centro de massa de um conjunto B são dadas por:

x c = ∫ ∫ B x   d m ∫ ∫ B d m

y c = ∫ ∫ B y   d m ∫ ∫ B d m

Onde o elemento de massa é dado por:

d m = δ x ,   y   d x d y

Neste caso, B é dado no enunciado como um triângulo, tal que:

0 ≤ x ≤ 1

E

0 ≤ y ≤ x

Além de que, a distância do ponto à origem é dada por:

δ x ,   y = k x 2 + y 2

Passo 2

A massa de B é dada por:

∫ ∫ B d m = ∫ 0 1 ∫ 0 x k x 2 + y 2   d y d x = k ∫ 0 1 ∫ 0 x x 2 + y 2 d y d x

Substituindo para coordenadas polares usando:

x = ρ c o s θ e y = ρ s e n θ

Tal que

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ = ρ d ρ d θ

Quando x = 1 → ρ = s e c θ

Quando x = 0 → ρ = 0

Quando y = x → θ = π 4

Quando y = 0 → θ = 0

Obtém-se:

= k ∫ 0 π / 4 ∫ 0 s e c θ ρ 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ ρ d ρ d θ

= k ∫ 0 π / 4 ∫ 0 s e c θ ρ 2 d ρ d θ

= k ∫ 0 π / 4 ρ 3 3 | s e c θ 0 d θ = k 3 ∫ 0 π / 4 s e c 3 θ d θ

Para este caso, utiliza-se o método da integral por partes, tal que:

u = s e c θ e d v = s e c 2 θ d θ → d u = s e c θ   t g θ d θ e v = t g θ

Lembrando que o método é dado por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então:

∫ s e c 3 θ d θ = s e c θ t g θ - ∫ t g θ s e c θ t g θ d θ = s e c θ t g θ - ∫ s e c θ s e c 2 θ - 1 d θ

∫ s e c 3 θ d θ = s e c θ t g θ - ∫ s e c 3 θ - s e c θ d θ

Assim:

2 ∫ s e c 3 θ d θ = s e c θ t g θ + ∫ s e c θ d θ

∫ s e c 3 θ d θ = 1 2 s e c θ t g θ + ln ⁡ s e c θ + t g θ

Dessa forma:

= k 3 1 2 s e c θ t g θ + ln ⁡ s e c θ + t g θ | π / 4 0

Substituindo o intervalo de integração:

= k 6 2 + ln ⁡ 2 + 1 = k 6 2 + ln ⁡ 2 + 1

Passo 3

Assim, para a coordenada x do centro de massa teremos:

∫ ∫ B x d m = ∫ 0 1 ∫ 0 x x k x 2 + y 2   d y d x = k ∫ 0 1 ∫ 0 x x x 2 + y 2 d y d x

Substituindo para coordenadas polares usando:

x = ρ c o s θ e y = ρ s e n θ

Tal que

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ = ρ d ρ d θ

Quando x = 1 → ρ = s e c θ

Quando x = 0 → ρ = 0

Quando y = x → θ = π 4

Quando y = 0 → θ = 0

Obtém-se:

= k ∫ 0 π / 4 ∫ 0 s e c θ ρ c o s θ ρ 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ ρ d ρ d θ

= k ∫ 0 π / 4 c o s θ ∫ 0 s e c θ ρ 3 d ρ d θ

= k ∫ 0 π / 4 c o s θ ρ 4 4 | s e c θ 0 d θ = k 4 ∫ 0 π / 4 c o s θ s e c 4 θ d θ

= k 4 ∫ 0 π / 4 s e c 3 θ d θ = k 4 1 2 s e c θ t g θ + ln ⁡ s e c θ + t g θ | π / 4 0

Substituindo o intervalo de integração:

= k 8 2 + ln ⁡ 2 + 1 = k 8 2 + ln ⁡ 2 + 1

Passo 4

Já para a coordenada y do centro de massa teremos:

∫ ∫ B y d m = ∫ 0 1 ∫ 0 x y k x 2 + y 2   d y d x = k ∫ 0 1 ∫ 0 x y x 2 + y 2 d y d x

Substituindo para coordenadas polares usando:

x = ρ c o s θ e y = ρ s e n θ

Tal que

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ = ρ d ρ d θ

Quando x = 1 → ρ = s e c θ

Quando x = 0 → ρ = 0

Quando y = x → θ = π 4

Quando y = 0 → θ = 0

Obtém-se:

= k ∫ 0 π / 4 ∫ 0 s e c θ ρ s e n θ ρ 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ ρ d ρ d θ

= k ∫ 0 π / 4 s e n θ ∫ 0 s e c θ ρ 3 d ρ d θ

= k ∫ 0 π / 4 s e n θ ρ 4 4 | s e c θ 0 d θ = k 4 ∫ 0 π / 4 s e n θ s e c 4 θ d θ

= k 4 ∫ 0 π / 4 t g θ s e c 3 θ d θ

Utilizando o método da substituição simples com u = s e c θ e d u = s e c θ t g θ d θ :

Quando θ = π 4 → u = 2

Quando θ = 0 → u = 1

= k 4 ∫ 1 2 u 2 d u = k 4 u 3 3 | 2 1

Substituindo o intervalo de integração:

= k 12 2 2 - 1

Passo 5

Logo, substituindo esses resultados nas equações, o centro de massa estará localizado em:

x c = k 8 2 + ln ⁡ 2 + 1 k 6 2 + ln ⁡ 2 + 1 = 3 4

E

y c = k 12 2 2 - 1 k 6 2 + ln ⁡ 2 + 1 = 1 2 2 2 - 1 2 + ln ⁡ 2 + 1

Logo:

3 4 , 1 2 2 2 - 1 2 + ln ⁡ 2 + 1

Resposta

3 4 , 1 2 2 2 - 1 2 + ln ⁡ 2 + 1

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