Enunciado

(a) Mostre que as equações paramétricas x = a   c o s h   u cos ⁡ v   ,     y = b   c o s h   u   s e n   v   ,     z = c   s e n h   u   , representam um hiperboloide de uma folha.

(b) Use as equações paramétricas da parte (a) para traçar o gráfico do hiperboloide para o caso a = 1   ,   b = 2   ,   c = 3 .

(c) Determine, mas não calcule, a integral dupla que dá a área de superfície da porção do hiperboloide da parte (b) que está entre os planos z = - 3 e z = 3 .

Passo 1

(a) Galera, olha isso:

x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = cosh 2 ⁡ u cos 2 ⁡ v + cosh 2 ⁡ u s e n 2   v - s e n h 2   u = cosh 2 ⁡ u - s e n h 2 v = 1

Ou seja, as equações paramétricas satisfazem a equação do hiperboloide de uma folha:

x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Passo 2

(b) Agora vamos traçar o gráfico do elipsoide com a = 1   ,   b = 2   ,   c = 3 :

Passo 3

(c) Pessoal, as derivadas parciais em relação a u e a v serão, respectivamente:

r u = s e n h   u cos ⁡ v i + 2   s e n h   u   s e n   v   j + 3 cosh ⁡ u   k

r v = - cosh ⁡ u s e n   v   i + 2 cosh ⁡ u cos ⁡ v j + 0   k

Então, temos:

r u × r v = - 6 cosh 2 ⁡ u cos ⁡ v i - 3 cosh 2 ⁡ u s e n   v   j + 2 cosh ⁡ u s e n h   u   k

Lembrando que nós devemos integrar entre:

u = s e n h - 1 - 1 = - ln ⁡ 1 + 2           e           u = s e n h - 1   1 = ln ⁡ 1 + 2

Show! Podemos assim escrever a integral dupla que dá a área da superfície:

A S = ∫ 0 2 π ∫ - ln ⁡ 1 + 2 ln ⁡ 1 + 2 r u × r v   d u   d v = ∫ 0 2 π ∫ - ln ⁡ 1 + 2 ln ⁡ 1 + 2 36 cosh 4 ⁡ u cos 2 ⁡ v + 9 cosh 4 ⁡ u s e n 2   v + 4 cos h 2 ⁡ u s e n h 2   u   d u   d v

Resposta

(c) A S = ∫ 0 2 π ∫ - ln ⁡ 1 + 2 ln ⁡ 1 + 2 36 cosh 4 ⁡ u cos 2 ⁡ v + 9 cosh 4 ⁡ u s e n 2   v + 4 cosh 2 ⁡ u s e n h 2   u   d u   d v

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Determinar a área da porção esférica x 2 + y 2 + z 2 = 4 cortada pela parte superior do cone x 2 + y 2 = z 2 .
Determinar a área da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 9 que está no interior do cilindro x 2 + y 2= 3 x
Calcular a área da parte do plano 2 x + 2 y + z = 4 compreendida no interior da superfície prismática 1 ≤ x ≤ 2 ,1 ≤ y ≤ 2 .
Calcular a área da parte do paraboloide z = 4 - ( x 2 + y 2 ) acima do plano x y
Calcular a área da superfície plana x / 2 + z = 4 recortada pelo cone z = x 2 + y 2 .