Enunciado

Calcule grad f (x , y) sendo

f (x , y) = arctg (x)/(y)

Passo 1

O gradiente de f é definido como

grad f (x , y) = (f_x (x , y) , f_y (x , y))

Calculando as derivadas

f_x (x , y) = (1)/(1 + ((x)/(y))^2) (1)/(y) = (1)/(1 + (x^2)/(y))

= (1)/((x^2 + y^2)/(y)) = (y)/(x^2 + y^2)

f_y (x , y) = (1)/(1 + ((x)/(y))^2) (- (x)/(y^2))

= - (x)/(x^2 + y^2)

Então temos o gradiente

grad f (x , y) = ((y)/(x^2 + y^2) , - (x)/(x^2 + y^2))

Resposta

grad f (x , y) = ((y)/(x^2 + y^2) , - (x)/(x^2 + y^2))

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Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y
Seja U x , y = 2 x 2 + 1 2 y 2 a função energia potencial associada ao campo F → . Uma partícula de massa 1 é abandonada na posição ( 1,1 ) com velocidade nula. Admita que F → é a única força atuando
Determine todas as funções f : R 2 → R tais que a) ∂ f ∂ x = 9 x 2 y 2 - 10 x , ∂ f ∂ y = 6 x 3 y + 1 b) ∂ f ∂ x = y c o s x y + 3 x 2 - y, ∂ f ∂ y = x c o s x y - x + 3 y 2 c) ∂ f ∂ x = 2 x e x 2 + y
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Se F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que
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