Enunciado

Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j →   , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂   R 2 .   Se   F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que - ∇ U x , y =   F → x , y   em A .   Uma tal função denomina-se função energia potencial associada ao campo F → . Determine, caso exista, a função energia potencial associada ao compo dado e satisfazendo a condição dada.

c) F → x , y = - x x 2 + y 2 3 2   i → - y x 2 + y 2 3 2 j → e U 3,4 = 1 5

Passo 1

Eita, man! Lascou-se foi tudo! É mentiraaaaaaaaaa!(leia com voz de quadrilha junina... É que eu amo o São João e já estou no clima mesmo em setembro). Mas vamos ao que interessa.

A questão nos diz que o campo é conservativo se podemos encontrar uma função tal que seu gradiente coincide com as componentes x e y   do campo dado. Em outras palavras, precisamos encontrar uma função U tal que

∂ U ∂ x x , y = - P ( x , y )

∂ U ∂ y x , y = - Q ( x , y )

Mas se ligue que isso corresponde à fazer uma continhas que já fizemos que dizia assim: Verifique se existe uma função definida no R 2 que satisfaz: ∂ f ∂ x x , y = b l á   b l á   e ∂ f ∂ y x , y = x o x o x o e em caso positivo, encontre-a. Aí a gente fazia uma continha para verificar se era possível. Se alembra qualé ?

A gente fazia a seguinte coisa:

∂ f ∂ x x , y = Q x , y ⟹   ∂ Q ∂ y x , y   e ∂ f ∂ y x , y = P x , y   ⟹   ∂ P ∂ x x , y  

Se ∂ Q ∂ y x , y =   ∂ P ∂ x x , y ,   então a função existia.

E ai, depois a gente calculava a integral da derivada com respeito a x ou a y , calculava as constantes e achava a função. A ideia aqui é a mesma. Não perde isso de vista, minino!

Vamos pás conta!

Passo 2

Pela definição do campo que nos foi dado, temos que:

∂ U ∂ x x , y = x x 2 + y 2 3 2   ,   - ∂ U ∂ y x , y = y x 2 + y 2 3 2  

Seguindo a ideia que vimos no passo anterior,

P x , y =   - x x 2 + y 2 3 2     Q x , y =   -   y x 2 + y 2 3 2

Vamos verificar se U existe.

∂ P ∂ y x , y = 2 y )   x   3 2 x 2 + y 2 1 2 x 2 + y 2 3 = ∂ Q ∂ x x , y

Pode preparar o quentão que o campo U existe.

Vamos achar essa merda então hahaha!

Passo 3

Usando o teorema fundamental do cálculo,

U x , y = ∫   ∂ U ∂ x x , y d x   = ∫ x x 2 + y 2 3 2   d x

Precisamos fazer uma substituição pra resolver a integral, ou seja, chamaremos   ; u = x 2 + y 2 ,   d u = 2 x   d x , temos que

x , y = ∫ 1 u 3 2 d x   = u - 1 2 + C y = 1 x 2 + y 2 + K

Vamos achar a constante que depende de y agora. Fazendo,

∂ U ∂ x x , y = C ' y =   0 ⟹ C y = K  

Logo, a função que desejamos tem a cara

U x , y = 1 x 2 + y 2 + K    

Vamos usar o dado para descobrir o valor de K .

1 5 = U 3,4 = 1 9 + 16 + K = 1 5 ⟹ K = 0    

Logo,

U x , y =   1 x 2 + y 2  

Resposta

U x , y =   1 x 2 + y 2  

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