Calcule

∫ - π 0 sin ⁡ 3 x d x

Passo 1

Primeiro faremos uma substituição tal que 3 x = u → 3 d x = d u → d x = d u 3

E que 3 0 = 0   e   3 - π = - 3 π

∫ - π 0 sin ⁡ 3 x d x = 1 3 ∫ - 3 π 0 sin ⁡ u d u

Passo 2

Vamos agora lembrar que se:

d cos ⁡ u d u = - sin ⁡ u → ∫ sin ⁡ u d u = - cos ⁡ u

Assim:

1 3 ∫ - 3 π 0 sin ⁡ u d u = - 1 3 cos ⁡ u 0 - 3 π

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F x uma primitiva de f x , então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Assim: - 1 3 cos ⁡ u 0 - 3 π =

= - 1 3 cos ⁡ 0 - cos ⁡ - 3 π =

Lembrando que cos ⁡ ( - 3 π ) = cos ⁡ π = - 1

= - 1 3 1 - - 1 = - 1 3 2 = - 2 3

Resposta

∫ - π 0 sin ⁡ 3 x d x = - 2 3

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