Enunciado

(a) Calcule a soma de Riemann para f x = sen ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ 3 π 2 , e com seis termos, tomando os pontos amostrais como as extremidades direitas. (Dê a resposta correta até a sexta casa decimal). Explique o que a soma de Riemann representa com a ajuda de um esboço.

(b) Repita a parte (a) tomando como pontos amostrais os pontos médios.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a soma de Riemann para a seguinte função:

f x = sen ⁡ x

No intervalo 0 ≤ x ≤ 3 π 2 .

Onde devemos utilizar 6 termos, tomando os pontos amostrais como as extremidades direitas.

Para isso, devemos saber que a soma de Riemann é um método matemático usado para aproximar a integral de uma função definida em um intervalo específico.

A soma de Riemann para aproximar uma integral de uma função f x definida no intervalo a , b é dada da seguinte forma:

∫ a b f x d x = ∑ i = 1 n f x i ∆ x i

Em que Δ x = b - a n e x i = a + i ∆ x .

Onde n é o número de subintervalos (ou termos) e Δ x é a largura do subintervalo.

Em seguida, devemos explicar o que a soma de Riemann representa com a ajuda de um esboço.

Por fim, devemos repetir o que fizemos, mas utilizando os pontos médios como pontos amostrais

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Com n = 6 teremos que:

R 6 = ∑ i = 1 6 f x i ∆ x

e x i * = x i é um ponto extremo esquerdo.

Como nossa função varia de 0 a 3 π 2 , então:

∆ x = 3 π 2 - 0 6 = π 4

Passo 3

Assim, aplicando a soma de Riemann para 6 termos, temos:

R 6 = π 4 f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4 + f x 5 + f x 6 ∴

R 6 = π 4 f π 4 + f 2 π 4 + f 3 π 4 + f 4 π 4 + f 5 π 4 + f 6 π 4 ∴

R 6 = π 4 ( sen ⁡ π 4 + sen ⁡ π 2 + sen ⁡ 3 π 4 + sen ⁡ π + sen ⁡ 5 π 4 + sen ⁡ 3 π 2 )   ∴

R 6 = π 4 2 2 + 1 + 2 2 + 0 - 2 2 - 1 ∴

R 6 = π 2 8 ∴

R 6 ≈ 0.555360

Passo 4

A soma de Riemann representa a soma das áreas dos três retângulos sobre o eixo x menos a soma das áreas dos dois retângulos abaixo do eixo x , isto é a “área líquida” dos retângulos com respeito ao eixo x .

O diagrama formado é o seguinte:

Passo 5

Agora usando os pontos médios, temos que:

x i * = x - i = 1 2 x i - 1 + x i

Assim, aplicando a soma de Riemann, temos:

M 6 = ∑ i = 1 6 f x - i ∆ x ∴

M 6 = π 4 f π 8 + f 3 π 8 + f 5 π 8 + f 7 π 8 + f 9 π 8 + f 11 π 8 ∴

M 6 ≈ π 4 1.306563 ∴

M 6 ≈ 1.026172

Passo 6

A soma de Riemann representa a soma das áreas dos quatro retângulos sobre o eixo x menos a soma das áreas dos dois retângulos abaixo do eixo x , isto é a “área líquida” dos retângulos com respeito ao eixo x .

O diagrama formado é o seguinte:

Resposta

  1. Soma: 0.555360
  2. A soma de Riemann representa a soma das áreas dos três retângulos sobre o eixo x menos a soma das áreas dos dois retângulos abaixo do eixo x , isto é a “área líquida” dos retângulos com respeito ao eixo x .

  3. Soma: 1.026172

A soma de Riemann representa a soma das áreas dos quatro retângulos sobre o eixo x menos a soma das áreas dos dois retângulos abaixo do eixo x , isto é a “área líquida” dos retângulos com respeito ao eixo x .

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