Enunciado

21) Calcule Δ y e d y para os valores dados de x e d x = Δ x . A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos d x , d y e Δ y .

y = 2 x ,     x = 4 ,     Δ x = 1

Passo 1

Falaeee, belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular Δ y e d y para os valores dados de x e d x = Δ x .

Para isso, devemos entender como é dado o diferencial de uma função.

Em seguida, a questão nos pede para esboçar um diagrama mostrando os segmentos de reta com comprimentos d x , d y e Δ y .

Como exemplo a gente tem esse aqui:

E aí? Bora lá??

Passo 2

A diferencial de uma função y = f x é dada por:

d y = f ' x d x

Portanto, derivando a função:

f ' x = - 2 x 2

Logo, a diferencial é:

d y = - 2 x 2   d x

Então temos:

d y = - 2 4 2 ( 1 )

d y = 1 8 = 0,125

Passo 3

E como Δ y = f x + Δ x - f ( x ) então:

Δ y = 2 x + Δ x - 2 x

Δ y = 2 4 + 1 - 2 4

Δ y = - 0,1

Passo 4

Temos a reta tangente em a = 4 :

f a + f ' a x - a = L ( x )

2 4 + - 2 4 2 x - 4 = L ( x )

L x = 1 - x 8

Logo, o gráfico é dado por:

Resposta

d y = 1 8 = 0,125

Δ y = - 0,1

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