Enunciado

Se f x = ln ⁡ x - 1 ,   1 ≤ x ≤ 4 , calcule a soma de Riemann com n = 6 , tomando como pontos amostrais as extremidades esquerdas. (Dê sua resposta correta até a sexta casa decimal.) O que representa a soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.

Passo 1

Com n = 6 teremos que L 6 = ∑ i = 1 6 f ( x i - 1 ) ∆ x , e x i * = x i - 1 é um ponto extremo esquerdo.

Nosso delta vale 0.5 porque nossa função varia de 1 a 4 , logo:

∆ x = 4 - 1 6 = 0.5

Passo 2

L 6 = 0.5 f 1 + f 1.5 + f 2 + f 2.5 + f 3 + f 3.5

L 6 ≈ 0.5 - 1 - 0.5945349 - 0.3068528 - 0.0837093 + 0.0986123 + 0.2527630

L 6 = 0.5 - 1.6337217 ≈ - 0.816861

Passo 3

A soma de Riemann representa a soma das áreas dos dois retângulos sobre o eixo x menos a soma das áreas dos quatro retângulos abaixo do eixo x , isto é a “área líquida” dos retângulos com respeito ao eixo x .

O diagrama formado é o seguinte:

Resposta

Soma: - 0.816861

A soma de Riemann representa a soma das áreas dos dois retângulos sobre o eixo x menos a soma das áreas dos quatro retângulos abaixo do eixo x , isto é a “área líquida” dos retângulos com respeito ao eixo x .

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