Enunciado

Calcule a soma da série ∑ n = 1 ∞ 1 / n 5   com precisão de três casas decimais.

Passo 1

Bom, pessoal, o que o enunciado quer basicamente é que calculemos o valor de uma série com base num limitante para o erro de aproximação. Quando o enunciado informa “precisão de três casas decimais”, ele quer que cheguemos num número do tipo x , x x x ⏟ 3   c a s a s   d e c i m a i s .

Isso significa que o erro de aproximação deve ser tal que

R n ≤ 0,0005

Ou seja, um erro de, no máximo, 0,0005 , de modo que se arredondaria o valor em ± 0,001 e, portanto, assegurando a precisão na terceira casa decimal.

Show de bola! Chega de blá-blá-blá e vamos calcular o R n .

Passo 2

Já sabemos que

R n ≤ ∫ n ∞ f x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ n t 1 x 5 d x = lim t → ∞ ⁡ - 1 4 t 4 - - 1 4 n 4 = 1 4 n 4

Ou seja

R n ≤ 1 4 n 4

Como vimos no Passo 1, queremos que o nosso erro na aproximação seja menor que 0,0005 . Logo,

R n ≤ 1 4 n 4   e   R n ≤ 0,0005 ∴ 1 4 n 4 ≤ 0,0005 ↔ n 4 ≥ 5 00 ↔ n ≥ 4 , 7

Passo 3

Como o valor de n precisa ser um número inteiro, usaremos n = 5 . Portanto, a nossa aproximação será:

∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ≈ s 5 = 1 1 5 + 1 2 5 + 1 3 5 + 1 4 5 + 1 5 5 = 1.037

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ≈ 1.037

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A série no Exercício 5 também pode ser escrita como Escreva-a como uma soma começando com (a) n = - 2 , (b) n = 0 , (c) n = 5 .
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