Enunciado

Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 - x - y   d y   d x

Passo 1

O probleme fornece para gente uma integral iterada e queremos saber qual é o sólido cujo volume é dado por ela.

Vamos lembrar que o volume de um sólido limitado pelo plano x y e uma superfície dada pela função z = f x ,   y é a integral dupla dessa função num determinado domínio.

Vamos identificar primeiro o domínio no plano x y . Observe que x varia entre 0 e 1 enquanto y varia entre 0 e 1 - x . Assim, o domínio de integração é representado por

Passo 2

Com isso, o sólido será a região abaixo da superfície z = 1 - x - y sobre a região pintada em vermelho do passo anterior (no plano x y ). A seguir, represento o domínio de integração em três dimensões:

Agora temos que olhar para a superfície z = 1 - x - y . Trata-se de um plano e quando x = y = 0 (eixo z ), temos z = 1 . Além disso, quando y = 1 - x , temos z = 0 . Esse plano corta o plano x y exatamente na reta y = 1 - x . Com isso, podemos desenhar o sólido:

Trata-se de um tetraedro trirretângulo.

Resposta

Esboço de gráfico.

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Determine a área da superfície.A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que está no primeiro octante.
Mostre que a área da parte do plano z = a x + b y + c que projeta sobre uma região D no plano x y com área A ( D ) é a 2 + b 2 + 1 A ( D ) .
Determine a área da superfície.A parte da superfície z = 1 + 3 x + 2 y 2 que está acima do triângulo com vértices 0,0 , 0,1 e 2,1 .
Determine a área da superfície.A parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 que está acima do retângulo com vértices 0,0 , 4,0 , 0,2 e 4,2 .
Determine a área da superfície.A superfície z = 2 3 ( x 3 / 2 + y 3 / 2 ) , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .