Enunciado

  1. Avalie
  2. h x = tan ⁡ x - x x 3

    Para x = 1 ,   0,5 ,   0,1 ,   0,05 ,   0,01   e   0,005

  3. Estime o valor de
  4. lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x x 3

  5. Calcule h ( x ) para valores sucessivamente menores de x até finalmente atingir valor 0 para h ( x ) . Você ainda está confiante que a conjectura em (b) está correta? Explique por que você acaba obtendo o valor 0 .
  6. Faça o gráfico da função h na janela retangular [ - 1,1 ] por 0,1 . Dê então zoom na direção do ponto onde o gráfico corta o eixo y para estimar o limite de h ( x ) quando x tende a 0. Continue dando zoom até osbservar distorções o gráfico de h . Compare com os resultados da parte (c).

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

h x = tan ⁡ x - x x 3

Queremos primeiramente calcular h x para os seguintes valores de x :

x = 1 ;   0,5 ;   0,1 ;   0,05 ; 0,01   e   0,005

Assim, basta substiruir x na função que encontratemos o h x correspondente.

Depois, devemos estimar o valor do seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x x 3

Para isso, resolveremos com base nos valores de h x encontrados na letra (a) pois, se você perceber, o x tende cada vez mais a zero.

Em seguida, deveremos substituir x na função mais uma vez, só que dessa vez iremos substituir por valores cada vez menores... até atingir o zero.

Por fim, vamos elaborar o gráfico da função na janela [ - 1,1 ] por 0,1 e iremos aplicar sucessivos zooms a fim de observar o comportamento da função.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiramente, construindo uma tabela para confrontar os valores de x com h ( x ) ficamos com:

Passo 3

Pela tabela do item (a), percebemos que quanto mais x se aproxima de zero, mais h x tende a 0,3333 . . , ou seja, mais h x tende a 1 3 .

Matematicamente falando, podemos dizer que:

lim x → 0 ⁡ h ( x ) = 1 3

Passo 4

Agora, construindo outra tabela para confrontar os valores de x (só que dessa vez ainda menores) com h ( x ) ficamos com:

Note que os valores irão começar a variar ainda mais e saem do padrão de 1 3 .

Passo 5

Fazendo o gráfico e dando sucessivos zoom’s, começando da janela [ - 1,1 ] por 0,1 :

Agora, aplicando zoom, temos:

Podemos ver que o gráfico da função tem uma oscilação muito grande para valores de x muito pequenos.

Resposta

  1. lim x → 0 ⁡ h ( x ) = 0,3 = 1 3

  2. Podemos ver que o gráfico da função tem uma oscilação muito grande para valores de x muito pequenos
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