Determine os limites nos Exercícios 23-42.

lim x → 9 ⁡ x - 3 x - 9

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = 9 e a função f x = x - 3 x - 9 . Então, temos que

f ( 9 ) = 9 - 3 9 - 9 = 0 0

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver uma raiz nós vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Para achar o conjugado basta inverter o sinal do termo, ou seja, o conjugado de x - 3 é:

x + 3

Passo 4

Então vamos fazer a multiplicação

lim x → 9 ⁡ x - 3 x - 9 ⋅ x + 3 x + 3 = lim x → 9 ⁡ ( x - 3 ) ( x + 3 ) ( x - 9 ) ( x + 3 )

Agora precisamos lembrar do caso da diferença de quadrados que diz que:

a + b a - b = a 2 - b 2

No nosso caso, comparando as expressões vamos ter que a = x e b = 3 . Então o numerador vai ficar

x - 3 x + 3 = x 2 - 3 2 = x - 9

Passo 5

Vamos juntar tudo então

lim x → 9 ⁡ ( x - 3 ) ( x + 3 ) ( x - 9 ) ( x + 3 ) = lim x → 9 ⁡ ( x - 9 ) ( x - 9 ) ( x + 3 ) = lim x → 9 ⁡ 1 ( x + 3 )

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

lim x → 9 ⁡ 1 ( x + 3 ) = 1 9 + 3 = 1 6

Resposta

lim x → 9 ⁡ x - 3 x - 9 = 1 6

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