Enunciado

Encontre uma equação da reta que passa pelo ponto ( 3,5 ) e que delimita a menor área do primeiro quadrante.

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom... queremos encontrar uma equação da reta que passa pelo ponto ( 3,5 ) e que delimita a menor área do primeiro quadrante.

Para isso, primeiramente devemos colocar essas informações em um desenho:

Lembre-se que a equação da reta é dada por:

y - y 0 = m x - x 0

Onde:

  • y é a coordenada do eixo vertical;
  • x é a coordenada do eixo horizontal;
  • m é a inclinação (coeficiente angular) da reta;
  • x 0 , y 0 são pontos conhecidos da reta.

E aí? Bora lá aplicar?? 😉

Passo 2

Chamaremos a inclinação da reta que passa pelo ponto ( 3,5 ) de m , e m < 0 porque a inclinação dessa reta é negativa.

A equação dessa reta é:

y - 5 = m x - 3

y = m x + 5 - 3 m

O intercepto de y é 5 - 3 m e o de x é - 5 m + 3 , então, a área desse triângulo é:

A m = 1 2 5 - 3 m - 5 m + 3

A m = 15 - 25 2 m - 9 2 m

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Minimizando a área, ou seja, derivando e igualando a zero:

A ' m = 25 2 m 2 - 9 2 = 0

m 2 = 25 9

m = - 5 3 (porque a inclinação é negativa)

A ' ' m = - 25 m 3 > 0  

Substituindo o m negativo nessa conta a segunda derivada fica positiva, então, a área realmente é mínima quando m = - 5 3 , e a equação da reta é:

y = m x + 5 - 3 m

y - 5 = - 5 3 x - 3

y = - 5 3 x + 10

Entendeu direitinho?? Responde Aí 😉

Resposta

Equação da reta: y = - 5 3 x + 10 .

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