Enunciado

17- Calcule o trabalho realizado pelo campo de força

F x , y , z = x x + z 2 i + y y + x 2 j + z z + y 2 k

Quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima.

Passo 1

O trabalho é calculado pela integral de linha:

W = ∫ C F .   d r

E como ela se move ao redor da borda de uma estrutura espacial fechada então o teorema de Stokes é válido então:

W = ∫ C F .   d r = ∫ ∫ S r o t   F   d S

A superfície estará em coordenadas esféricas e pela esfera dada no enunciado temos as seguintes coordenadas:

x = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ

z = 2 cos ⁡ ϕ

Isso nos dará a seguinte equação parametrizada da esfera:

r ϕ , θ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ i 2 sin ⁡ ϕ s in ⁡ θ j + 2 cos ⁡ ϕ k

E para essa esfera estar no primeiro octante os ângulos estarão restritos em:

0 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Agora fazendo o jacobiano da equação parametrizada nós teremos:

r ϕ × r θ = i j k 2 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ   2 cos ⁡ ϕ   sin ⁡ θ - 2 sin ⁡ ϕ - 2 sin ⁡ ϕ   sin ⁡ θ 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 0

Fazendo o determinante disso temos:

r ϕ × r θ = 4 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 4 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ j

+ 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ k

O que é a mesma coisa que:

r ϕ × r θ = 4 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 4 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ j + ( 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ )   k

Agora só falta o rotacional para que consigamos fazer essa integral.

r o t   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x x + z 2 y y + x 2 z z + y 2

Fazendo a determinante:

r o t   F = ∂ ∂ y z z + y 2 - ∂ ∂ z y y + x 2 i + ∂ ∂ z x x + z 2 - ∂ ∂ x z z + y 2 j

+ ∂ ∂ x y y + x 2 + ∂ ∂ y x x + z 2 k

Logo:

r o t   F = 2 y   i + 2 z j + 2 x k

Então o rotacional em coordenadas esféricas será:

r o t   F = 4 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ i + 4 cos ⁡ ϕ j + 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ k

Passo 2

Então a integral do trabalho será:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 4 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 4 cos ⁡ ϕ , 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ( 4 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 4 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ ,

4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ )   d ϕ d θ

Fazendo a multiplicação vetorial:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ( 16 sin 3 ⁡ ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ θ + 16 sin ⁡ θ sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ + 16 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ) d θ   d ϕ

Isso nos dá:

16 ∫ 0 π 2 1 2 sin ⁡ 2   θ   d θ   ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ ϕ d ϕ +

16 ∫ 0 π 2 sin ⁡ θ d θ ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ +

16 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ   d θ   ∫ 0 π / 2 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ

Fazendo as integrais trigonométricas comuns, integração por partes em si n 3 ⁡ ϕ e fazendo a substituição u = sin ⁡ ϕ   na integral de sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ e depois aplicando o intervalo em todo mundo nós acharemos um trabalho igual a:

W = 16

Resposta

W = 16

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