Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 17
17- Calcule o trabalho realizado pelo campo de força
Quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da parte da esfera que está no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima.
Passo 1
O trabalho é calculado pela integral de linha:
E como ela se move ao redor da borda de uma estrutura espacial fechada então o teorema de Stokes é válido então:
A superfície estará em coordenadas esféricas e pela esfera dada no enunciado temos as seguintes coordenadas:
Isso nos dará a seguinte equação parametrizada da esfera:
E para essa esfera estar no primeiro octante os ângulos estarão restritos em:
Agora fazendo o jacobiano da equação parametrizada nós teremos:
Fazendo o determinante disso temos:
O que é a mesma coisa que:
Agora só falta o rotacional para que consigamos fazer essa integral.
Fazendo a determinante:
Logo:
Então o rotacional em coordenadas esféricas será:
Passo 2
Então a integral do trabalho será:
Fazendo a multiplicação vetorial:
Isso nos dá:
Fazendo as integrais trigonométricas comuns, integração por partes em e fazendo a substituição na integral de e depois aplicando o intervalo em todo mundo nós acharemos um trabalho igual a: