Enunciado

Faça o gráfico das duas soluções básicas da equação diferencial e de várias outras soluções. Que aspecto têm em comum as suas soluções?

14-

6 d 2 y d x 2 - d y d x - 2 y = 0

Passo 1

A equação auxiliar que resolve essa EDO é:

6 r 2 - r - 2 = 0

E as raízes dessa equação são tais que:

r 1 ; r 2 = 1 ± 1 2 - 4 × 6 × - 2 2 × 6 = 1 12 ± 7 12 = 8 12 ; - 6 12 = 2 3 ; - 1 2

Raízes que são reais e distintas.

Passo 2

A solução de uma EDO de segunda ordem com raízes reais e distintas e domínio em x é:

y = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

Substituindo as raízes que encontramos no passo anterior nós teremos:

y = c 1 e 2 x 3 + c 2 e - x 2

Isso nos abre uma família de gráficos basta arbitrar valores de c 1 e de c 2 .

A melhor forma de ver isso é pelo link a seguir e ficar alterando os valores de c 1 e de c 2 pelo slider:

https://www.desmos.com/calculator/zvpltg7dz1

Caso não dê para ver (só digitar no navegador) temos a seguinte foto abaixo:

Que nos mostra que a solução y é limitada lateralmente pelas duas soluções que a compõem e que tem assíntotas em x = 0 .

Mesmo quando um dos valores é negativo.

O ponto é, toda solução com raízes reais e distintas nos dá y = ± ∞ com x → ± ∞ a questão é o sinal de c 1 ou de c 2

Resposta

Link no passo 2.

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