Calcule ∂z/∂u e ∂z / ∂v usando a regra da cadeia:

z = x^2 + y^2 , x = u \* sen(v) , y = v \* cos(u)

Passo 1

Bom galera, vamos ter que usar a regra da cadeia, pra isso vamos precisar lembrar de uma formulinha, essa aqui:

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u

E também:

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v

Parece até meio complicadinha, mas vamos aplicar na prática que eu prometo que as coisas vão ficar mais claras. 😊

Passo 2

Belezinha, vamos aplicar a nossa função dentro da formula (Lembrando que quando a gente deriva em função de uma variável consideramos a outra constante):

∂ z ∂ u = ∂ ( x 2 + y 2 ) ∂ x ⋅ ∂ u ⋅ sin ⁡ v ∂ u + ∂ ( x 2 + y 2 ) ∂ y ⋅ ∂ ( v ⋅ cos ⁡ u ) ∂ u

= 2 x ⋅ sin ⁡ v + ( 2 y ) ⋅ ( - v ⋅ sin ⁡ u )

E substituimos x e y com as equações que elas valem:

= 2 u ⋅ sin ⁡ v ⋅ sin ⁡ v + ( 2 v ⋅ cos ⁡ u ) ⋅ ( - v ⋅ sin ⁡ u )

= 2 u ⋅ sin 2 ⁡ v - 2 v 2 ⋅ cos ⁡ u ⋅ sin ⁡ u

Passo 3

Por fim, fazemos o mesmo para calcular a outra derivada:

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v

= ∂ ( x 2 + y 2 ) ∂ x ⋅ ∂ u ⋅ sin ⁡ v ∂ v + ∂ ( x 2 + y 2 ) ∂ y ⋅ ∂ ( v ⋅ cos ⁡ u ) ∂ v

= 2 x ⋅ u ⋅ cos ⁡ v + 2 y ⋅ cos ⁡ u

Substituimos x e y :

= 2 ⋅ u ⋅ sin ⁡ v ⋅ u ⋅ cos ⁡ v + 2 ⋅ v ⋅ cos ⁡ u ⋅ cos ⁡ u

= 2 u 2 ⋅ sin ⁡ v ⋅ cos ⁡ v + 2 v ⋅ cos 2 ⁡ u

Resposta

∂ z ∂ u = 2 u ⋅ sin 2 ⁡ v - 2 v 2 ⋅ cos ⁡ u ⋅ sin ⁡ u

∂ z ∂ v = 2 u 2 ⋅ sin ⁡ v ⋅ cos ⁡ v + 2 v ⋅ cos 2 ⁡ u

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