Calcule um valor aproximado e avalie o erro.

raiz(4,001)

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Vamos fazer f x = x , com polinômio de Taylor de ordem 1 , de f em volta de x 0 = 4 :

Para o polinômio de Taylor de ordem 1 vamos ter:

P x = f 4 + f ' 4 x - 4

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada primeira de f x e aplicar o ponto x 0 = 4 , vamos lá:

f x = x → f 4 = 2

f ' x = 1 2 x → f ' 4 = 1 2 4 = 1 4

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 4 + f ' 4 x - 4

P x = 2 + 1 4 x - 4 = 2 + x - 4 4

Agora vamos fazer, P 4,001

P 4,001 = 2 + 4,001 - 4 4 ≅ 2,00025

Passo 4

Para avaliar o erro vamos ter:

f 4,001 - P 4,001 ≤ 10 - 7

Lembrando que f 4,001 = 4,001

Resposta

2,00025 e f 4,001 - P 4,001 ≤ 10 - 7

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