1.

Seja f x = ln ⁡ ( 3 x + 1 ) , com x > - 1 3

a ) Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de f em torno do ponto x 0 = 0 .

b ) Usando o item ( a ) , calcule um valor aproximado para ln ⁡ ( 1,03 ) e para ln ⁡ ( 0,97 ) . Verifique que o erro em ambas as aproximações é menor do que 10 - 6 .

Resolução
2.

Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2 , avalie o erro.

  cos ⁡ ( 0.2 )

Resolução
3.

Seja f x = ln ⁡ ( 3 x + 1 ) , com x > - 1 3

a ) Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de f em torno do ponto x 0 = 0

b ) Usando o item ( a ) , calcule um valor aproximado para ln ⁡ ( 1,03 ) e para ln ⁡ ( 0,97 ) . Verifique que o erro em ambas as aproximações é menor do que 10 - 6 .

Resolução
4.

Seja a função f x = x 5 :

a Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de f em torno do ponto x 0 , onde x 0 ≠ 0 , e seu respectivo erro associado.

b Usando o Item a para x 0 = 32 , encontre o valor aproximado de 34 5 e decida se o erro, em módulo, é inferior que 1 5 2 . 2 15 .

Resolução
5.

a ) Seja n ≥ 1 um inteiro. Determine P n ( x ) o Polinômio de Taylor de ordem n de f x = e 2 x em torno do ponto x = 0 . Obtenha uma expressão para o erro de E n x = f x - P n x , em que x   ∈   R .

Resolução
6.

Use o polinômio de Taylor da função f x = sen ⁡ x em torno de x 0 = 1 2 , de menor grau possível, para obter uma aproximação de sen ⁡ ( x ) com erro inferior a 10 - 5 .

Resolução
7.

Seja f x = arctan ⁡ x .

  1. Determine o polinômio de Taylor de grau 7 de f x em torno de x = 0 ;
  2. Usando (a), calcule arctan ⁡ 0,3   e estime o erro;
  3. Determine o polinômio de Taylor de grau 14 de g x = arctan ⁡ x 2 em torno de x = 0 . (Sugestão: use o polinômio de Taylor de f x = arctan ⁡ x .)
Resolução
8.

ME04) Deseja-se estimar o valor de 1 e com erro inferior a 2 ∙ 10 - 4 . Use um polinômio de Taylor da função f x = e - x em torno de x o = 0 e seu resto de Lagrange. Sabendo que 2 ≤ e ≤ 3 , assinale a alternativa correspondente ao menor grau de um tal polinômio que se pode garantir com esses elementos.

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