Enunciado

Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função f x = 1 + c o s x no ponto c = π . Usar este polinômio para determinar um valor aproximado para cos ⁡ 5 π 6 . Fazer uma estimativa para o erro.

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem n no ponto c é obtido assim:

P n x = f c + f ' c x - c + f ' ' c 2 ! x - c 2 + … + f n c n ! x - c n

Além disso, o resto na forma de Lagrange, como a gente viu, fica assim:

R n x = f n + 1 z n + 1 ! x - c n + 1

A parte mais trabalhosa é essa de ter que calcular todas as derivadas, mas o aluno Responde Aí não tem medo de conta, então bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular todas as derivadas: não vou explicar passo a passo, mas com tudo que aprendemos até aqui vai ficar bem mastigadinho, fica tranquilo. Em vez do y que ele deu no enunciado, como essa parada é função de x , vamos manter o f ( x ) , ok? Não esquece da regra da cadeia! Vamos até a derivada de grau 7 , já que queremos o Taylor de ordem 6 e o resto vai precisar da derivada de grau 7 .

f x = 1 + c o s x

f ' x = - s e n x

f 2 ' x 2 ! = 1 2 × ( - c o s x )

f 3 ' x 3 ! = 1 6 × ( s e n x )

f 4 ' x 4 ! = 1 24 × c o s x

f 5 ' x 5 ! = 1 120 × ( - s e n x )

f 6 ' x 6 ! = 1 720 × ( - c o s x )

f 7 ' x 7 ! = 1 5040 × s e n x

Então o polinômio de Taylor vai ser:

P 6 x = 1 + cos ⁡ c - s e n c x - c - cos ⁡ c 2 x - c 2 + s e n c 6 x - c 3 + cos ⁡ c 24 x - c 4 - s e n c 120 x - c 5 - cos ⁡ c 720 x - c 6

Passo 3

No ponto c = π :

P 6 x = 1 + cos ⁡ π - s e n π x - π - cos ⁡ π 2 x - π 2 + s e n π 6 x - π 3 + cos ⁡ π 24 x - π 4 - s e n π 120 x - π 5 - cos ⁡ π 720 x - π 6

Em c = π , cos ⁡ π = - 1 e s e n π = 0 , então:

P 6 x = 1 - 1 - - 1 2 x - π 2 + - 1 24 x - π 4 - - 1 720 x - π 6

P 6 x = x - π 2 2 - x - π 4 24 + x - π 6 720

Substituindo x = 5 π 6 :

1 + cos ⁡ 5 π 6 = P 6 x = 5 π 6 - π 2 2 - 5 π 6 - π 4 24 + 5 π 6 - π 6 720

1 + cos ⁡ 5 π 6 = 0,13397474

cos ⁡ 5 π 6 = - 0,86602526

Passo 4

E agora para o resto:

R 6 x = f 7 z ( 6 + 1 ) ! x - π 6 + 1

R 6 x = f 7 z 7 ! x - π 7

Então o resto vai ser:

R 6 x = s e n z 5040 x - π 7

Já que z vai de 0 até 5 π 6 :

R 6 5 π 6 < s e n 5 π 6 5040 × 5 π 6 - π 7

R 6 5 π 6 < 0,000001

Resposta

cos ⁡ 5 π 6 = - 0,86602526

R 6 5 π 6 < 0,000001

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