Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

35.   f x = x + 9 2 - 8   s e   x < - 7 - 25 - x + 4 2     s e - 7 ≤ x ≤ 0 x - 2 2 - 7   s e   0 < x

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

Para x < - 7 temos:

f x = x + 9 2 - 8  

f ' x = 2 ( x + 9 )

Para - 7 ≤ x ≤ 0 temos:

f x = - 25 - x + 4 2  

f ' x = - 1 2 25 - x + 4 2 - 1 2 ⋅ - 2 x + 4

= 25 - x + 4 2 - 1 2 ⋅ ( x + 4 )

Para 0 < x temos:

f x = x - 2 2 - 7  

f ' x = 2 ( x - 2 )

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

Para x < - 7 :

2 x + 9 = 0

⇒ x + 9 = 0

⇒ x = - 9

Para - 7 < x < 0 temos:

25 - x + 4 2 - 1 2 ⋅ x + 4 = 0

A única possibilidade dessa expressão ser 0 é se:

x + 4 = 0

⇒ x = - 4

Para 0 < x :

2 x - 2 = 0

⇒ x - 2 = 0

⇒ x = 2

Passo 4

Então achamos os valores de x que é ponto crítico de f , que é x = - 9 e x = - 4 e x = 2 . Agora vamos ver o valor de f para tais pontos, jogando os x que encontramos na nossa função.

Para x < - 7 :

f x = x + 9 2 - 8  

f - 9 = - 9 + 9 2 - 8  

= - 8

Para - 7 ≤ x ≤ 0 temos:

f x = - 25 - x + 4 2  

f - 4 = - 25 - - 4 + 4 2  

= - 25

= - 5

Para 0 < x :

f x = x - 2 2 - 7  

f 2 = 2 - 2 2 - 7  

= - 7

Passo 5

Agora vamos avaliar para quais intervalos f ( x ) é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x f ' ( x ) é positiva e para quais valores ela é negativa.

f ' x =   2 x + 9   s e     x < - 7 25 - x + 4 2 - 1 2 ⋅ x + 4   s e   - 7 < x < 0 2 x - 2   s e   0 < x

Vemos que para:

    x < - 9 → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor um qualquer menor que - 9 .

- 9 < x < - 7 → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

- 7 < x < - 4 → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

- 4 < x < 0 → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

0 < x < 2 → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

2 < x → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor um qualquer maior que 2 .

Olhando essas avaliações você pode ver que - 7 e 0 são extremos relativos de f x , pois como f ' ( - 7 ) e f ' ( 0 ) apresentam uma descontinuidade eles são números críticos de f .

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é decrescente antes de - 9 e crescente depois do mesmo, logo f x = - 8 é ponto mínimo, como a função é crescente antes de - 7 e decrescente depois do mesmo, logo f x = - 4 é ponto máximo, como a função é decrescente antes de - 4 e crescente depois do mesmo, logo f x = - 5 é ponto mínimo, como a função é crescente antes de 0 e decrescente depois do mesmo, logo f x = - 3 é ponto máximo, como a função é decrescente antes de 2   e crescente depois do mesmo, logo f x = - 7 é ponto mínimo.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Passo 6

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

  1. f - 9 = - 8 , f - 7 = - 4 , f - 4 = - 5 , f 0 = - 3 e f 2 = - 7 são extremos relativos.
  2. Em x = - 9 , em x = - 7 , em x = - 4 , x = 0 e x = 2 ocorre extremo relativo.
  3. f ( x ) é crescente em - 9 , - 7 , [ - 4,0 ] , [ 2 , + ∞ )
  4. f ( x ) é decrescente em ( - ∞ , 9 ] , - 7 , - 4 , 0,2
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