Enunciado

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar:

∫ x y e y z   d y

C : x = t ,   y = t 2 ,   z = t 3 ,     0 ≤ t ≤ 1

Passo 2

Nesse exercício podemos aplicar diretamente a fórmula 7 vista nessa seção, só precisamos calcular o valor das derivadas em relação a t , sendo assim:

d x d t = 1

d y d t = 2 t

d z d t = 3 t 2

Agora, substituindo o valor das expressões na fórmula 7, temos:

∫ x y e y z   d s = ∫ 0 1 t t 2 e t 2 t 3 2 t d t

2 ∫ 0 1 t 4 e t 5   d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

2 1 5 e t 5 0 1 = 2 1 5 e 1 5 - 1 5 = 2 5 e - 1

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ x y e y z   d y = 2 5 e - 1

Resposta

∫ x y e y z   d y = 2 5 e - 1

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