Enunciado

Encontre o vetor gradiente grad f de f e o esboce.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar:

f (x , y) = (1)/(2) (x - y)^2

O vetor gradiente é dado por:

grad f (x , y) = f_x (x , y) vec i + f_y (x , y) vec j

Passo 2

Nesse caso, temos:

f_x (x , y) = (1)/(2) 2 (x - y) = x - y

f_y (x , y) = (1)/(2) (- 2) (x - y) = y - x

Passo 3

Sendo assim, podemos escrever o vetor gradiente como:

grad f (x , y) = ( x - y ) vec i + ( y - x ) vec j

O campo vetorial dado pelo vetor gradiente é mostrado a seguir:

Resposta

grad f (x , y) = ( x - y ) vec i + ( y - x ) vec j

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