Enunciado

  1. Determine uma função f tal que F → = ∇ f e
  2. Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F → x , y = y z i → + x z   j → +   x y + 2 z k → ,   C : é o segmento de reta de 1,0 , - 2   a   ( 4,6 , 3 )

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra determinar a função potencial associada ao campo conservativo vamos supor que o campo F → é:

F → = F x i → + F y j → + F z k →

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F x / ∂ x e integrar em relação à x :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ ( y z ) d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , z , digamos g ( y , z ) (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = x y z + g ( y , z )

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y , z ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 2

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = x z + g y ( y , z )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = x z

E agora vamos igualar os dois lados!

x z = x z + g y ( y , z )

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y , z :

g y y , z = 0

∫ g y ( y , z ) d y = 0

g y , z = h ( z )

E a função potencial é:

f x , y , z = x y z + h ( z )

Mas e agora surgiu mais uma função! Sim, pois ao integrar a função potencial em relação à y surge uma constante em z . Mas calma! O procedimento é o mesmo! Derivar essa última expressão em relação à z , igualar à F z e depois integrar em relação à z ! Vamos lá?

Passo 3

Show! Vamos derivar a função potencial em relação a z : ∂ f ∂ z = x y + g z ( y , z )

Beleza! E agora comparando com a componente F z do passo 1 temos:

F z = x y + 2 z = x y + g z ( y , z )

Agora vamos integrar em z :

∫ h ' ( z ) d z = ∫ 2 z   d z

h z = z 2 + C

Agora sim aqui C é uma constante mesmo =)

E a função f x , y , z é :

f x , y , z = x y z + z 2

Passo 4

Show! Agora temos que o ponto final é ( 4,6 , 3 ) e a função potencial nesse ponto é:

f 4,6 , 3 = 4.6 . 3 + 3 2 + C = 81 + C

E no ponto inicial, que é ( 1,0 , - 2 ) a função f vale:

f 1,0 , - 2 = 1.0 . - 2 + - 2 2 + C = 4 + C

Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:

∫ C F → ⋅ d r → = f f i n a l - f i n i c i a l = 81 + C - 4 + C = 77

É isso! O valor de ∫ C F → ⋅ d r → é 77 !

Resposta

( a ) f x , y , z = x y z + z 2

( b ) ∫ C F → ⋅ d r → = 77  

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Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = 2 x z + y 2 i → + 2 x yj → +x 2 + 3 z 2 k → ,C : x = t 2 ,y = t + 1 ,z = 2 t
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C y + z d x + x + z d y + x + y d z C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 , 0 ) a ( 1,0 , 1 ) e de ( 1,0 , 1 ) a ( 0,1 , 2 )
Se C é uma curva suave dada por uma função vetorial r → ( t ) , a ≤ t ≤ b , e v → é um vetor constante, mostre que ∫ C v → ⋅ d r → = v → ⋅ r → b - r → a