Enunciado

Calcule o valor médio da função temperatura:

f x = 37 s e n 2 π 365 x - 101 + 25

para um ano de 365 dias. (Veja o Exercício 98 da Seção 3.6.) Essa é uma forma de estimar a temperatura média anual do ar em Fairbanks, Alasca. O Serviço Nacional de Meteorologia apresenta uma média numérica oficial da temperatura média normal diária para o ano de 25,7 ºF, que é ligeiramente mais elevada do que o valor médio de f ( x ) .

Passo 1

Então galera, para determinarmos o valor médio de uma função, assim como discutido na seção 3 do George, basta calcularmos isso aqui ó:

M é d i a   f = 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x

Como o problema nos diz que o intervalo é [ 0 ,   365 ] , então nossa média será:

Então galera, para determinarmos o valor médio de uma função, assim como discutido na seção 3 do George, basta calcularmos isso aqui ó:

M é d i a   f = 1 365 - 0 ∫ 0 365 37 s e n 2 π 365 x - 101 + 25 d x

Passo 2

Escrevendo essa integral que teremos que resolver de uma forma mais simples, teremos:

M é d i a   f = 37 365 ∫ 0 365 s e n 2 π 365 x - 101 d x + 25 365 ∫ 0 365 d x

E é aqui que surge algo muito curioso e importante de ser notado! Para a primeira integral, se calcularmos o período do integrando, ou seja, da função seno, teremos:

T = 2 π 2 π 365 = 365

Lembrando que se o estudo de funções trigonométricas ainda não está tão claro para você, procure dar uma revisada lá no George, uma vez que é bem importante termos esses conceitos fixados, beleza? Continuando o raciocínio, viu que o período deu 365, que é o mesmo intervalo de integração que temos? A implicação disso é que o resultado dessa integral será 0! Sim, sempre que integramos uma função periódica em seu período, o resultado é 0! E isso praticamente já responde nossa questão, não é mesmo? Bora lá!

Passo 3

Bom, como discutido no passo anterior, temos que:

∫ 0 365 s e n 2 π 365 x - 101 = 0

Sendo assim, teremos:

M é d i a f = 37 365 . 0 + 25 365 x 365 0

∴ M é d i a   f = 25   ° F

Resposta

M é d i a   f = 25   ° F

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