Encontre o valor médio da função

f(x) = sen^2(x) \* cos^3(x)

No intervalo [-pi, pi] .

Passo 1

Achou que não teria que integrar essa função?! Se enganou rs, a gente pode achar o valor médio dessa função da seguinte maneira

f m e d i o = 1 π - - π ∫ - π π f x d x = 1 2 π ∫ - π π sin 2 ⁡ ( x ) cos 3 ⁡ ( x ) d x

Pra resolver esta integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

sin 2 ⁡ ( x ) + cos 2 ⁡ ( x ) = 1

Então, substituindo

f m e d i o = 1 2 π ∫ - π π sin 2 ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) cos ⁡ x d x = 1 2 π ∫ - π π sin 2 ⁡ x 1 - sin 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

A gente pode resolver esta integral pelo método da substituição, vamos lá?

Seja u = sin ⁡ x , temos que d u = cos ⁡ x d x . Vamos também calcular os novos limites de integração

u i n f e r i o r = sin ⁡ - π = 0

u s u p e r i o r = sin ⁡ π = 0

Então, substituindo

f m e d i o = 1 2 π ∫ - π π sin 2 ⁡ x 1 - sin 2 ⁡ x cos ⁡ x d x = 1 2 π ∫ 0 0 u 2 1 - u 2 d u = 0

Resposta

f m e d i o = 0

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