3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

q )   ∫ 1 3 e 3 x + sin ⁡ 3 x d x

Passo 1

Para facilitar as contas, podemos separar essa integral em duas por se trata se uma subtração de termos. Assim,

∫ 1 3 e 3 x   d x +   ∫ sin ⁡ 3 x d x

Passo 2

Vendo que ambas se tratam de primitivas imediatas. Na primeira integral, temos a primitiva imediata dada por ∫ e α x   d x =   1 α e α x + k ,   com c e k constantes. Além disso, a segunda integral é da função seno, com primitiva imediata dada ∫ sin ⁡ α x   d x =   - 1 α cos ⁡ α x + k , sendo k uma constante. Logo,

∫ 1 3 e 3 x   d x +   ∫ sin ⁡ 3 x d x = 1 3 * 1 3 e 3 x - 1 3 cos ⁡ 3 x + k = 1 9 e 3 x - 1 3 cos ⁡ 3 x + k      

Passo 3

Agora, vamos derivar o resultado que obtivemos para conferir se a integral está correta. Para isso, precisamos lembrar que a derivada de um polinômio é dada por e a x ' = a e a x e que ( cos ⁡ u ) ' = - u ' sin ⁡ u . Então,

1 9 e 3 x - 1 3 cos ⁡ 3 x + k     ' = 3 1 9 e 3 x -   - 3 1 3 sin ⁡ 3 x + 0 = 1 3 e 3 x + sin ⁡ 3 x  

Ou seja, a integração está correta

Resposta

Portanto, o resultado a integração é

∫ 1 3 e 3 x + sin ⁡ 3 x d x =   1 9 e 3 x - 1 3 cos ⁡ 3 x + k    

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