3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

i )   ∫ x + 1 5 cos ⁡ 3 x   d x

Passo 1

Vamos separar essa integral em duas, pois se trata de uma subtração de termos. Assim,

∫ x d x +   ∫ 1 5 cos ⁡ 3 x   d x

Passo 2

Sabendo que ambas são primitivas imediatas e que a primeira integral se trata de um polinômio, temos a primitiva imediata dada por ∫ x α d x = x α + 1 α + 1 ,   sendo c e k constantes. Enquanto que a segunda integral é da função cosseno, com primitiva imediata dada ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k , sendo k uma constante. Logo,

∫ x d x +   ∫ 1 5 cos ⁡ 3 x   d x = 1 2 x 2 + 1 3 * 1 5 sin ⁡ 3 x + k = 1 2 x 2 + 1 15 sin ⁡ 3 x + k  

Passo 3

Vamos derivar o resultado que obtivemos para conferir se a integral está correta. Para isso, precisamos lembrar que a derivada de um polinômio é dada por ( x α ) ' =   α x α - 1 e que ( sin ⁡ u ) ' = u ' cos ⁡ u   . Então,

1 2 x 2 + 1 15 sin ⁡ 3 x + k   ' = 2 1 2 x + 3 1 15 cos ⁡ 3 x + 0 = x + 1 5 cos ⁡ 3 x

Ou seja, a integração está correta

Resposta

Portanto, o resultado a integração é

∫ x + 1 5 cos ⁡ 3 x   d x =   1 2 x 2 + 1 15 sin ⁡ 3 x + k  

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