Enunciado

Determine a equação da reta tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , no ponto x 0 , y 0 , y 0 ≠ 0 .

Passo 1

Para achar a reta tangente, podemos usar a fórmula:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde y 0 = f x 0 :

Para f ' x 0 , devemos primeiramente derivar implicitamente a função em relação a x , para isso, devemos lembrar que a derivada de y é f ' x , assim:

x 2 a 2 ' + y 2 b 2 ' = 1 '

2 a 2 x + 2 b 2 ⋅ y ⋅ y ' = 0

2 a 2 x + 2 b 2 y f ' x = 0

2 b 2 y f ' x = - 2 a 2 x

1 b 2 y f ' x = - 1 a 2 x

f ' x = - x b 2 y a 2

Então:

f ' x 0 = - x 0 b 2 y 0 a 2

Passo 2

Assim, retomando a fórmula y - y 0 = f ' x 0 x - x 0 , temos:

y - y 0 = - x 0 b 2 y 0 a 2 x - x 0

y - y 0 y 0 a 2 = - x - x 0 x 0 b 2

y ⋅ y 0 a 2 - y 0 2 a 2 = - x ⋅ x 0 b 2 + x 0 2 b 2

y ⋅ y 0 a 2 + x ⋅ x 0 b 2 = x 0 2 b 2 + y 0 2 a 2

Se sabemos que x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 = 1 , pois, o ponto x 0 , y 0 pertence à função, então x 0 2 b 2 + y 0 2 a 2 a 2 b 2 = 1 e portando x 0 2 b 2 + y 0 2 a 2 = a 2 b 2 .

Assim, se

y ⋅ y 0 a 2 + x ⋅ x 0 b 2 = x 0 2 b 2 + y 0 2 a 2

temos

y ⋅ y 0 a 2 + x ⋅ x 0 b 2 = a 2 b 2

Passo 3

Dividindo por a 2 b 2 :

y   y 0 a 2 a 2 b 2 + x   x 0 b 2 a 2 b 2 = 1

y   y 0 b 2 + x   x 0 a 2 = 1

Logo, a equação da reta tangente é dada por:

x   x 0 a 2 + y   y 0 b 2 = 1

Resposta

x   x 0 a 2 + y   y 0 b 2 = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercicios de 1 a 28, ache d y d x por derivação implícita14. y + y 3 + y 4 = x
Exercício de Livro
Nos Exercicios de 1 a 28, ache d y d x por derivação implícita5. 1 x + 1 y = 1
Nos Exercicios de 1 a 28, ache d y d x por derivação implícita13. x 3 + x y 3 = 4 y ² ²
Exercício de Livro