Calcule o volume do conjunto dado.

Passo 1

Pelo teorema de Fubini, tem-se que o volume de um conjunto é dado por

V = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Onde z = f x ,   y .

Neste caso, z é limitada por duas funções e, logo, é definida pela diferença entre elas. Além disso, B é dado por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 2

Assim, é possível calcular o volume como:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 e x + y - 1 d x d y

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 e x e y - 1 d x d y

Portanto:

V = ∫ 0 1 e x e y - x | x = 1 x = 0 d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

V = ∫ 0 1 e e y - 1 - e y + 0 d y = ∫ 0 1 e - 1 e y - 1 d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y :

V = e - 1 e y - y | 1 0

E, substituindo o intervalo de integração:

V = e - 1 e - 1 - e - 1 + 0

V = e 2 - e - e

V = e 2 - 2 e   u . v .

Resposta

e 2 - 2 e   u . v .

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