Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B y d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x y d y d x

Ao igualar x = 0 :

- 1 2 ≤ y ≤ 1 2

E isolando x na inequação:

- 1 - 4 y 2 ≤ x ≤ 1 - 4 y 2

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ - 1 / 2 1 / 2 ∫ x = - 1 - 4 y 2 x = 1 - 4 y 2 y d x d y

F = ∫ - 1 / 2 1 / 2 y x | x = 1 - 4 y 2 x = - 1 - 4 y 2 d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = ∫ - 1 / 2 1 / 2 y 1 - 4 y 2 - - 1 - 4 y 2 d y = ∫ - 1 / 2 1 / 2 2 y 1 - 4 y 2 d y

Para essa equação, a resolução pode ser feita através da integração por substituição simples, tomando u = 1 - 4 y 2 , tal que d u = - 8 y d y . Logo:

F = ∫ - 1 / 2 1 / 2 u - d u 4 = - 1 4 2 3 u 3 / 2 | 1 / 2 - 1 / 2

Substituindo a variável original de volta:

F = - 1 6 1 - 4 y 2 3 / 2 | 1 / 2 - 1 / 2

Agora, substituindo o intervalo de integração podemos ver que haverá uma diferença dada por:

1 2 2 - - 1 2 2

Que resulta em zero. Portanto,

F = 0

Resposta

0

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