Enunciado

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

x 2 + 2 y 2 ≤ z ≤ 2 a 2 - x 2   a > 0 .

Passo 1

O calculo de volume é dado por uma integral tripla. Mas será que não conseguimos fácilitar nossa integral a fim de resumir ela pra uma integral dupla e sofrer menos ?

Dica: Use o Geogebra para plotar o gráfico. Mas vamos mostrar que não existe a necessidade de faze-lo aqui, se soubermos a definição.

Passo 2

Fazemos assim, suponha que nunca desenhamos o nosso gráfico. E sabemos que por definição, o volume de qualquer superfície é dado por

V = ∭ B d x   d y   d z

Até aqui, só a definição. B seria o nosso conjunto de pontos que definem nosso volume.

Entretanto perceba que z já está definido, assim temos que nosso volume pode ser escrito como

V = ∬ R d x   d y ∫ x 2 + 2 y 2 2 a 2 - x 2 d z

Sabemos que a integral de d z é z então

V = ∬ R 2 a 2 - x 2 - x 2 - 2 y 2 d x   d y = ∬ R 2 a 2 - x 2 + y 2 d x   d y  

Onde R é a projeção do nosso volume no plano x y . Importante nos sabermos, que sempre será isso. Eliminamos uma coordenada, o conjunto restante é a projeção do volume, naquelas coordenadas restantes.

Perceba que nossa projeção se encontra em

x 2 + 2 y 2 = 2 a 2 - x 2

O que implica em

x 2 + y 2 = a 2

Que é nosso conjunto R é x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ a 2

Passo 3

Então vamos fazer uma transformação em coordenada polares. Fazendo então x = r cos ⁡ θ e y = r   s e n   θ , temos que

r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2   θ = r 2 = a 2

Assim temos que

r ∈ 0 , a

Enquanto nosso θ variamos dentro de todo nosso circulo, ou seja θ ∈ 0,2 π .

Por fim, não esqueça de calcular o Jacobiano. Segue o mesmo feito no exercício anterior, assim temos que J = r e nossa integral

∬ R 2 a 2 - x 2 + y 2 d x   d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 a 2 - r 2 r d r d θ

A integral em θ é 2 π e em r vamos ter o seguinte

4 π ∫ 0 a a 2 r - r 3 d r = 4 π a 2 r 2 2 - r 4 4 0 a = 4 π a 4 2 - a 4 4 = a 4 π

Resposta

V = a 4 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calculem) ∫ ∫ ∫ B e x 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ 1 .
Calculee) ∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 ⋅ x .
Calculeg) ∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 ⋅ x + 2 ⋅ y - 1
Calculel) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 - y 2 ≤ z ≤ 1 - 2 ⋅ y 2 .
Calculen) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 ≤ y ≤ x , 0 ≤ z ≤ x + y .