Enunciado

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

x 2 ≤ z ≤ 1 - y e y ≥ 0

Passo 1

O calculo de volume é dado por uma integral tripla. Mas será que não conseguimos facilitar nossa integral a fim de resumir ela pra uma integral dupla e sofrer menos?

Vamos primeiro desenhar nosso problema e ver qual é a cara dele. Pra isso, vamos usar o Geogebra, um software matemático e gratuito.

Parece feio, é, mas o nosso gráfico é a junção dessas três superfície.

É verdade que às vezes é importante entender como é a nossa superfície, mas se as funções são dadas, precisamos perceber qual é a lógica por trás da integração. Que não é esse caso hahaha .

Passo 2

Fazemos assim, suponha que nunca desenhamos o nosso gráfico. E sabemos que por definição, o volume de qualquer superfície é dado por

V = ∭ B d x   d y   d z

Até aqui, só a definição. B seria o nosso conjunto de pontos que definem nosso volume.

Entretanto perceba que z já está definido, assim temos que nosso volume pode ser escrito como

V = ∬ R d x   d y ∫ x 2 1 - y d z

Sabemos que a integral de d z é z então

V = ∬ R 1 - y - x 2 d x   d y

Onde R é a projeção do nosso volume no plano x y . Importante nós sabermos, que sempre será isso. Eliminamos uma coordenada, o conjunto restante é a projeção do volume, naquelas coordenadas restantes.

Assim tome a vista da nossa imagem, por cima

Podemos ver que o que nos sobra é uma parábola que relaciona x e y

Pela capacidade da observação hahah temos que

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

Enquanto x varia de - 1   à 1 .

Então temos que

V = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - y - x 2 d y   d x  

Passo 3

Agora é resolver. A primeira integral fica

V = ∫ - 1 1 y - y 2 2 - x 2 y 0 1 - x 2 d x

Eu sei, é chato, fazer essas distribuições, mas confia, não tem outra forma

V = ∫ - 1 1 1 - x 2 - 1 - x 2 2 2 - x 2 1 - x 2 d x

Aahhhhhhh

V = ∫ - 1 1 1 - x 2 - 1 2 + x 2 - x 4 2 - x 2 + x 4 d x

E finalmente podemos escrever

V = ∫ - 1 1 1 2 - x 2 + x 4 2 d x

E agora é só integrar

V = x 2 - 1 3 x 3 + 1 10 x 5 - 1 1 = 1 2 - 1 3 + 1 10 - - 1 2 + 1 3 - 1 10 = 1 - 2 3 + 1 5

E agora, finalmente, queria agradecer a todos que me apoiaram até aqui e dizer do fundo do meu coração que

V = 15 - 10 + 3 15 = 8 15

O livro apresenta como resposta 4 / 15 , mas esse que vos ajudou acredita que o guidorizzi ta doidão hahaha

Resposta

V = 8 15

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Calculer) ∫ ∫ ∫ B y - x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 4 ≤ x + y ≤ 8 , 1 x ≤ y ≤ 2 x , y ≥ x e 0 ≤ z ≤ x ⋅ y 1 3 x + y .
Calculep) ∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 4 ⋅ x 2 + 9 ⋅ y 2 + z 2 ≤ 4 , z ≥ 0 .
Calculeo) ∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 , z ≥ 0 .
Calculei) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 e x + y ≤ z ≤ x + y + 1 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)h) x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 ⋅ x + 2 ⋅ y .