Enunciado

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

h) x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 ⋅ x + 2 ⋅ y .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular o volume do conjunto através da integral tripla. Para isso, vamos reduzir o problema de uma integral tripla para dupla, encontrando o novo conjunto K e os intervalos de integração. Vamos lá!

Passo 2

Temos que o volume é dado pela integral

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K ∫ a b d z ⋅ d x ⋅ d y

Substituindo nossos intervalos, chegamos que

∫ ∫ K ∫ x 2 + y 2 4 ⋅ x + 2 ⋅ y d z ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K 4 ⋅ x + 2 ⋅ y - x 2 - y 2 ⋅ d x ⋅ d y

Para nosso K , precisamos fazer a intersecção entre os dois limites, logo x 2 + y 2 = 4 ⋅ x + 2 ⋅ y . Completando quadrados, chegamos que x - 2 2 + y - 1 2 = 5 . Aplicando agora uma transformação para coordenadas polares, temos que

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ + 2

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ + 1

0 ≤ ρ ≤ 5

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Substituindo na integral e resolvendo, chegamos que

∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 5 5 - ρ 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = ∫ 0 2 ⋅ π d θ ⋅ ∫ 0 5 ( 5 - ρ 2 ) ⋅ ρ ⋅ d ρ =

= 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ ρ 2 2 - ρ 4 4 0 5 = 2 ⋅ π ⋅ 25 2 - 25 4 = 25 ⋅ π 2

Resposta

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = 25 ⋅ π 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.A região entre o cilindro z = y 2 e o plano x y que é delimitada pelos planos x = 0 , x = 1 , y = - 1 , y = 1
Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.A região cortada do cilindro x2 + y2 = 4 pelo plano z = 0 e oplano x + z = 3
Nos Exercícios 37-40, encontre o valor médio de F(x, y, z) sobre aregião determinadaF(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sobre o cubo no primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados e os planos x = 1, y
Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.A região cortada do cilindro elíptico sólido x2 + 4y2 ≤ 4 peloplano xy e o plano z = x + 2.
Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.A região no primeiro octante delimitada pelos planos coordenados, o plano y + z = 2 e o cilindro x = 4 - y 2