Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do círculo x 2 + y - 2 2 ≤ 1 em torno

  1. do eixo x
  2. da reta y = 1 .

Passo 1

Para essa questão, vamos usar a fórmula proposta nas questões 3 e 4 desta mesma seção.

A equação dada se trata de um círculo da forma ( x - x c ) 2 + y - y c 2 ≤ r 2 , onde ( x c , y c ) são as coordenadas do centro e r o raio. Olhando no plano temos:

Passo 2

  1. Para o cálculo do volume, temos que pelo Teorema de Papus é dado por
  2. V = L ⋅ A

    onde L é o comprimento da circunferência gerada pela revolução do ponto que representa o centro de massa da figura e A é a área da própria figura.

    Como temos uma figura simétrica, podemos concluir nesse caso que o centro de massa coincide com o centro da circunferência que é 0,2 , então o raio da circunferência de revolução, que é dado pela coordenada y é 2 e podemos calcular L como

    L = 2 π r = 4 π

    Já a área pode ser calculada pela área da circunferência

    A = π r 2 = π

    Então temos

    V = L ⋅ A

    V = 4 π ⋅ π = 4 π 2

    Passo 3

  3. Já em torno da reta y = 1 , temos a mesma fórmula

V = L ⋅ A

Mas nesse caso o raio da circunferência de revolução é dado por r = y c - 1 , então temos

r = 2 - 1 = 1

e L é dado por

L = 2 π r = 2 π

Como a área não muda temos

V = 2 π ⋅ π = 2 π 2

Resposta

  1. 4 π 2
  2. 2 π 2
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Explique informalmente por que o Teorema 5.5 . 6a decorre da Definição 5.5 . 1 .
Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário. a )∫ 0 3 xd x c )∫ - 1 4 xd x b )∫ - 1