c) ∫ s e n x c o s 5 x d x  

Passo 1

Vamos chamar nossa integral de I para facilitar nossa vida.

I = ∫ s e n x c o s 5 x d x  

Passo 2

Utilizando o exercício 2, temos a ideia de fazer a seguinte substituição:

u = c o s ( x )

Derivando,

d u = - sen ⁡ ( x ) d x

Isolando o fator sen ⁡ ( x ) d x , temos:

∫ s e n x c o s 5 x d x = ∫ 1 cos 5 ⁡ x ⋅ s e n x d x

Passo 3

Agora é só finalizar!

Nossa integral era:

I = ∫ 1 cos 5 ⁡ x ⋅ s e n x d x

Indo para variável u :

I = ∫ 1 u 5 - d u = - ∫ d u u 5

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Integrando, temos:

I = - u - 5 + 1 - 5 + 1 + c

Agora vamos fazer essas contas:

I = u - 4 4 + c = 1 4 ⋅ u 4 + c

Voltando para nossa variável inicial:

I = 1 4 ⋅ cos 4 ⁡ ( x ) + c

Resposta

1 4 ⋅ cos 4 ⁡ ( x ) + c

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