A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. Ache o comprimento do arco da curva y = ln(sec(x)) dex = 0 a x = pi / 4

Passo 1

Lembremos a fórmula do comprimento do arco de uma curva:

d = ∫ a b 1 + d y d x 2 d x

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular d y d x :

y ' = ( ln ⁡ sec ⁡ x ) '

Pela regra da cadeia, teremos:

d y d x = sec ⁡ x tan ⁡ x 1 sec ⁡ x  

Simplificando:

d y d x = tan ⁡ x

Passo 3

Por fim, usaremos a fórmula do comprimento:

d = ∫ 0 π 4 1 + tan ⁡ x 2 d x

d = ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x d x

d = ∫ 0 π 4 sec ⁡ x d x

Lembrando que:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Ficaremos com

d = ∫ 0 π 4 sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ π 4 + tan ⁡ π 4 - ln ⁡ sec ⁡ 0 + tan ⁡ 0

d = ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ 1

d = ln ⁡ 2 + 1

Resposta

d = ln ⁡ 2 + 1

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