Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x , do conjunto de todos os pares ( x , y ) , tais que :

1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ x

Passo 1

Nosso objetivo é calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x , do conjunto de todos os pares ( x , y ) , tais que :

1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ x

Passo 2

A integração será um problema pequeno comparado a visualização, então preste bastante atenção nos gráficos, eles serão nossa bússola em problemas de volume de figuras rotacionadas.

Sem mais enrolação, vamos começar pelo que nos dará a direção, dá uma olhadinha nesses gráficos que estão aqui embaixo:

Inicialmente iremos fazer um esboço dos gráficos das figuras da questão:

1 ≤ x ≤ 3

0 ≤ y ≤ x

E agora da interseção entre esses dois gráficos, que está em verde:

Passo 3

Para calcular o volume do sólido rotacionado em torno do eixo x, temos que analisar qual é a interseção e qual os intervalos de integração, que serão as retinhas que delimitam a figura de interseção entre os gráficos:

Nesse problema você pode dar uma olhada e vai perceber que é para x = 1   e   x = 3

Caso tenha esquecido, tá aí a fórmula:

  V = π ∫ f ( x ) 2 d x

Passo 4

Nosso intervalo de integração será x = 1   e   x = 3 , e a função f ( x ) = x :

V   =   π ∫ 1 3 x 2 d x

= π [   x 3 3 ] 3 1

= π ( 27 3 - 1 3 )

= 26 π 3

Resposta

V = 26 π 3

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